【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの面積公式と覚え方

東大塾長の山田です。
このページでは、【数学ⅠA】の「三角比sin,cos,tanの面積公式と覚え方」について解説します。

三角比の面積公式は、証明を理解してしまえば簡単に覚えることができます。
公式の導き方を知り、三角比の基礎を固めましょう！

1. 三角比の面積公式

三角形の面積は、次のように三角比を使って求めることができます。

三角比の面積公式

下の図の三角形の面積 \( S \) は、

\( \large{ \displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} ab \sin \theta } } \)

2. 証明

なぜこの式が成り立つのかを解説していきます。

証明

上の図で、高さ \( h \) は

\( h = a \sin \theta \)

よって

\( \displaystyle S = b \times a \sin \theta \times \frac{1}{2}\)

∴ \( \displaystyle \large{ \color{red}{ S = \frac{1}{2} ab \sin \theta } } \)

よって、公式を導くことができました。

とても簡単に導くことができるのがわかったと思うので、証明ごと覚えましょう。
そうすれば、絶対に忘れなくなります！

3. 三角比の面積公式を使った例題

それでは、具体的に問題で三角比の面積公式を使ってみましょう。

3.1 例題1

例題1

下図の三角形の面積を求めよ。

この問題は、公式で一発です。

【解答】

\( \begin{align}
\displaystyle S & = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin30^\circ \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \\
\\
& = \color{red}{ \frac{5}{2} \cdots 【答】 }
\end{align} \)

3.2 例題2

例題2

下図の三角形の面積を求めよ。

まず \( \sin \theta \) の値を求める必要があります。

3辺の値がわかっているので、余弦定理で \( \cos \theta \) の値を求めてから、次に \( \sin^2\theta + \cos^2 \theta = 1 \) を使って \( \sin \theta \) の値を求めます。

【解答】

余弦定理より

\( \begin{align}
\displaystyle \cos\theta & = \frac{5^2 + 7^2 – 3^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} \\
\\
& = \frac{13}{14}
\end{align} \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \sin\theta & = \sqrt{1-\cos^2\theta} \\
\\
& = \sqrt{1-\left( \frac{13}{14} \right)^2} \\
\\
& = \frac{3\sqrt{3}}{14}
\end{align} \)

したがって

\( \begin{align}
\displaystyle S & = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin\theta \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{14} \\
\\
& = \color{red}{ \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdots 【答】 }
\end{align} \)