2次関数のグラフの書き方・頂点・平行移動について全て語った

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東大塾長の山田です。

このページでは、2次関数のグラフの書き方(頂点・軸の求め方)と、平行移動の問題の解き方をわかりやすく解説します

具体的に例題を解きながらやってみせますので、解き方がしっかりとイメージできるようになるはずです。

 

2次関数の式変形や平行移動は、関数の基礎・基本となり、非常に重要です。

このページを最後まで読んで、2次関数の基礎をマスターしてください!

 

1. 2次関数とは

最初に、簡単に2次関数とは何か?について解説をします。

 

¥( x ¥) の2次式で表される関数を、¥( x ¥) 2次関数といいます

一般に、次の式で表されます。

\[ \large{ y=ax^2+bx+c } \\ (a,b,c \ は定数,a \neq 0) \]

 

例えば、次のような関数が2次関数です。

2次関数の例
  • \( y=2x^2 \)
  • \( y=-3x^2+2 \)
  • \( y=x^2-4x-1 \)

e.t.c…

 

2. 2次関数 \( y=ax^2+bx+c \) のグラフ

それでは、2次関数 \( y=ax^2+bx+c \) のグラフの書き方について、順を追って解説していきます。

2.1 2次関数 \( y=a(x-p)^2+q \) のグラフ

まず、「\( \large{ y=a(x-p)^2+q } \)」のグラフについて押さえておきましょう。

この式の形が、2次関数の基本となるからです

 

\( \large{ y=a(x-p)^2+q } \) のグラフは、\( \large{ y=ax^2 } \) のグラフを

\( x \) 軸方向に \( p \)
\( y \)
軸方向に \( q \) だけ平行移動

したグラフです。

 

したがって、

\[ \large{ 頂点:(p, \ q) } \]

軸は頂点の \( x \) 座標と同じなので、

\[ \large{ 軸:x=p } \]

となります。

 

例えば

\[ \large{ y=2(x-3)^2+1 } \]

のグラフは、

\[ \large{ y=2x^2 } \]

のグラフを

\( x \) 軸方向に3、\( y \) 軸方向に1

だけ平行移動したグラフになります。

 

また、頂点は\( (3, \ 1) \)、軸は直線 \( x=3 \) となります。

 

ここで言いたいことは、\( y=ax^2+bx+c \)」のグラフは「\( y=a(x-p)^2+q \)」の形に変形することで、軸と頂点がわかるということです。

 

ちなみに

  • 「\( y=ax^2+bx+c \)」の形を一般形
  • 「\( y=a(x-p)^2+q \)」の形を基本形

といいます。

 

「\( y=ax^2+bx+c \)」→「\( y=a(x-p)^2+q \)」の式変形のやり方は、この後解説します。

\( y=a(x-p)^2+q \) のグラフ

2次関数\( y=a(x-p)^2+q \) のグラフは、\( y=ax^2 \) のグラフを、\( x \) 軸方向に \( p \)、\( y \) 軸方向に \( q \) だけ平行移動したグラフになる。

  • 頂点:\( (p, \ q) \)
  • 軸: \( x=p \)

 

2.2 \( y=ax^2+bx+c \) のグラフの軸と頂点の公式

\( y=ax^2+bx+c \)のグラフは、\( y=ax^2 \) のグラフを平行移動した放物線で、

\[ \large{ 頂点:\left(-\frac{b}{2a}, \ \frac{-b^2+4ac}{4a} \right) } \]

\[ \large{ 軸:\ x=-\frac{b}{2a} } \]

となります。

 

2.3 \( y=ax^2+bx+c \) のグラフの軸・頂点の解説

\( y=ax^2+bx+c \) のグラフの軸と頂点の公式が成り立つ理由を説明します。

 

\( y=ax^2+bx+c \)を平方完成します。

\[ \begin{align}
y & = ax^2+bx+c \\
\\
& = a \left( x^2+\frac{b}{a}x \right) +c \ \ \ (←aでax^2+bxをくくる) \\
\\
& = a{ x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 – \left( \frac{b}{2a} \right)^2 } + c \ \ \ (←xの係数\frac{b}{a}の半分の平方 \left( \frac{b}{2a} \right)^2を加えて引く) \\
\\
& = a{ x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 } – a\left( \frac{b}{2a} \right)^2 + c \\
\\
& = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2}{4a} + c \\
\\
& = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{-b^2+4ac}{4a}
\end{align} \]

 

よって、\( y=ax^2+bx+c \) のグラフは、\( y=ax^2 \)のグラフを

\[ x軸方向に-\frac{b}{2a},y軸方向に\frac{-b^2+4ac}{4a} \]

だけ平行移動したグラフとなります。

 

したがって、\( y=ax^2+bx+c \) のグラフは、

\[ \large{ 頂点:\left(-\frac{b}{2a}, \ \frac{-b^2+4ac}{4a} \right) } \]

軸は頂点の \( x \) 座標と同じなので、

\[ \large{ 軸:\ x=-\frac{b}{2a} } \]

となります。

 

次からは、具体的に問題をやっていきます。

 

3. 2次関数のグラフをかく問題

例題①

\( y=2x^2-8x+5 \) のグラフをかきなさい。

\( y=2x^2-8x+5 \)を平方完成して、頂点を求めます。

解答

\[ \begin{align}
y & = 2x^2-8x+5 \\
\\
& = 2(x^2-4x)+5 \\
\\
& = 2(x^2-4x+4)-2 \cdot 4+5 \\
\\
& = 2(x-2)^2-3
\end{align} \]

 

よって、\( y=2x^2-8x+5 \) のグラフは、\( y=2x^2 \) のグラフを\( x \) 軸方向に2、\( y \) 軸方向に−3だけ平行移動したグラフになる。

 

したがって、\( y=2x^2-8x+5 \) のグラフは下の図のようになります。

 

4. 2次関数のグラフの平行移動の問題

次は平行移動の問題です。

例題②

放物線 \( y=-3x^2+6x-5 \) を\( x \) 軸方向に−3、\( y \) 軸方向に5だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

平行移動の問題の解き方は2パターンあるので、どちらも解説します。

4.1 2次関数の平行移動の解き方:パターン①

解法パターン①は、頂点を求めてから平行移動をして、式を求める方法です。

 

まずは平方完成をして、頂点を求めます。

解法パターン①

\[ \begin{align}
y & = -3x^2+6x-5 \\
\\
& = -3(x^2-2x)-5 \\
\\
& = -3(x^2-2x+1)-(-3) \cdot 1-5 \\
\\
& = -3(x-1)^2-2
\end{align} \]

 

よって、\( y=-3x^2+6x-5 \) の頂点は\( (1, \ -2) \)

この頂点を\( x \) 軸方向に−3、\( y \) 軸方向に5だけ平行移動させると

\[ (1-3, \ -2+5) \]

すなわち \( (-2, \ 3) \)

が頂点となるから、求める放物線の式は

 

\[ \begin{align}
y & = -3\{x-(-2)\}^2+3 \\
\\
& = -3(x+2)^2+3 \\
\\
& = -3(x^2+4x+4)+3 \\
\\
& = -3x^2-12x-9
\end{align} \]

 

よって、求める放物線の方程式は

\[ y = -3x^2-12x-9 \]

 

4.2 2次関数の平行移動の解き方:パターン②

放物線 \( y=ax^2+bx+c \) を \( x \) 軸方向に \( p \)、\( y \) 軸方向に \( q \) だけ平行移動した放物線の方程式は

\[ \large{ y-q = a(x-p)^2+(x-p)x+c } \]

となります。

 

つまり、\( x \)」を「\( x-p \)」に、「\( y \)」を「\( y-q \)」におき換えれば、平行移動後の式を得られます

これでやってみましょう!

解法パターン②

\( y=-3x^2+6x-5 \) の「\( x \)」を「\( x-(-3) \)」に、「\( y \)」を「\( y-5 \)」におき換えると、

\[ \begin{align}
y-5 & = -3{x-(-3)}^2 + 6{x-(-3)} -5 \\
\\
y & = -3(x+3)^2+6(x+3) \\
\\
y & =-3(x^2+6x+9)+6x+18 \\
\\
y & = -3x^2-18x-27+6x+18 \\
\\
y & = -3x^2-12x-9
\end{align} \]

 

よって、求める放物線の方程式は

\[ y = -3x^2-12x-9 \]

解法パターン①の答えとも一致しました。

 

5. 2次関数のグラフの書き方・平行移動まとめ

さいごに、2次関数のグラフの書き方と、平行移動の解き方のまとめをします。

2次関数のグラフの書き方のまとめ

  • 2次関数の頂点と軸の求め方⋯「\( y=ax^2+bx+c \)」のグラフは「\( y=a(x-p)^2+q \)」の形に変形することで、軸と頂点がわかる。

 

  • \( y=a(x-p)^2+q \) のグラフ⋯\( y=ax^2 \) のグラフを\( x \) 軸方向に \( p \)、\( y \) 軸方向に \( q \)だけ平行移動したグラフになる。
    • 頂点:\( (p, \ q) \)
    • 軸: \( x=p \)

 

  • \( y=ax^2+bx+c \)のグラフ⋯\( y=ax^2 \) のグラフを平行移動した放物線である。
    • \[ 頂点:\left(-\frac{b}{2a}, \ \frac{-b^2+4ac}{4a} \right) \]
    • \[ 軸:x=-\frac{b}{2a} \]
2次関数の平行移動の解き方まとめ

  • パターン①頂点を求めてから移動させる(平方完成)
    1. 式を \( y=a(x-p)^2+q \) の形に直し、頂点の座標を求める。
    2. 平行移動させた後の頂点の座標を求める。
    3. ②で求めた頂点で計算をする。

 

  • パターン②「\( x \)」を「\( x-p \)」に、「\( y \)」を「\( y-q \)」におき換える
    • 放物線 \( y=ax^2+bx+c \) を \( x \) 軸方向に \( p \)、\( y \) 軸方向に \( q \) だけ平行移動した放物線の方程式は、「\( x \)」を「\( x-p \)」に、「\( y \)」を「\( y-q \)」におき換えて計算すれば、平行移動後の式になる。

 

以上が2次関数のグラフの書き方と、平行移動のまとめです。
関数は入試では100%出題される、できなければいけない問題です。
2次関数の式変形や平行移動は、関数の基礎・基本となります。

すらすらできるようになるまで何度も練習をして、関数を得意単元にして下さい!

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