波の式の導出(例題付き)

東大塾長の山田です。
このページでは、波の式の導出の仕方について説明していますぜひ勉強の参考にしてください!

1. 波の式の導出

1.1 波の式への準備

まず波の式を表すための準備として、媒質の単振動の式がすぐに導き出せるようにしておきましょう。

下図を見てください。+x方向へ速度\(v\)で伝わる正弦波があるとして、\(t=0\)における波形が下図の実線で、また、少し時間がたった時の波形が点線で示されています。

このとき、点\(O\)と点\(A\)における媒質の単振動の式を、縦軸を\(t\)でとって考えてみます。

①原点\(O\)について

少し時間がたった時の点線の波形を見てみると、実線の時と比べて\(+y\)方向に動いていることが分かります。この時の動きを変位\(y\)を縦軸にとって時間\(t\)を横軸にとったグラフで捉えると、下図のようになります。

これは\(\sin\)のグラフとなっています。型さえ分かってしまえば、中身は\(\omega t=\displaystyle\frac{2\pi}{T}\)で良いので、以下の式が導き出せます。

\( \displaystyle y_o = A \sin \omega t = A \sin \frac{2\pi}{T}t \)

②同様に点\(B\)でも考えてみます。

先ほどと同様に、点\(B\)の運動を追ってあげると下図のようなグラフが得られます。

 

これは\(-\cos\)の型だとわかるので、以下の式が導き出せます。

\( \displaystyle y_B = – \cos \frac{2\pi}{T}t \)

このように少し時間がたった時のグラフを考えることで、各点における媒質の単振動の方程式をすぐに出せるようにしておきましょう!

 

1.2 波の式の作り方

それではいよいよ波の式の導出に入ります。式を導出するにあたってすることは二つあります。

①まず、原点(\(x=0\))における、媒質の単振動の式\(y_0 (t)\)を作る。
②次に、\(y(x, t)=y(0, t±\displaystyle\frac{x}{v})\)を用いておわり。

なぜこの二つの手順が必要なのかしっかりと解説していきます!

①\(y_0 (t) \)の式の作り方は簡単で、1.1で説明したように、少し時間がたった時の波形の様子を考えて、それがどの型に当てはまるかを考えれば良いだけです。

②の、\(y(x, t)=y(0, t±\displaystyle\frac{x}{v})\)について詳しく説明します。

まず\(+x\)方向に進む波を考えます。位置座標が\(x\)である点\(P\)を考えます(ここでは\(x\)は定数)。原点\(O\)の変位が点\(P\)に伝わるまでの時間は、

\( \displaystyle \Delta t=\displaystyle\frac{x}{v} \)

です。つまり原点\(O\)で起こったことが、\(\Delta t\)の時間を経て、点\(P\)でも起きるということです。

上図をイメージしてもらえるとわかりやすいと思います。
これを式で表すと、

\( \displaystyle y(x, t)= y (0, t – \frac{x}{v}) \)

となることが分かります!

\(-x\)方向に進む波もこれと同様に考えてもらえばよく、\(x<0\)であることも踏まえて、

\( \displaystyle \Delta t = – \frac{x}{v} \)

となるので、以下の関係が成り立ちます。

\( \displaystyle y(x, t) = y(0, t + \frac{x}{v}) \)

結局言いたいことは、以下の通りです。

波の進行方向が\(±x\)方向の時、

「位置\(x\)における時刻\(t\)の変位は、位置\(x=0\)における時刻\(t∓\displaystyle\frac{x}{v}\)の変位である」

これを式で表すと

\( \displaystyle y_P (t) = y_o(t∓ \frac{x}{v})(複合同順) \)

 

1.3 波の式を作る

それでは上の考えを実際に当てはめてみましょう。例として1.1でも考えた、

\( \displaystyle y_o (t) = A \sin \omega t = A \sin \frac{2\pi}{T}t \)

について考えてみたいと思います!(進行方向は\(±x\)方向)
このとき、点\(P\)における変位\(y_P (t)\)は

\( \displaystyle y_P (t)=y_o(t∓\Delta t)(複合同順) \)

\( \displaystyle \qquad =y_o(t ∓ \frac{x}{v}) \)

\( \displaystyle \qquad = A \sin \frac{2\pi}{T}(t∓ \frac{x}{v}) \)

\( \displaystyle \qquad =A \sin 2\pi (\frac{t}{T} ∓ \frac{x}{Tv}) \)

と変形することができます。ここで \( \displaystyle \frac{1}{T} = f \) より、

\( \displaystyle Tv = \frac{v}{f} = \frac{f\lambda}{f} = \lambda \)

と分かるので、最終的な式変形は、

\( \displaystyle y_P (t) = A \sin 2\pi (ft ∓ \frac{x}{\lambda}) \)

ただし波の進行方向は\(±ⅹ\)方向で複合同順

となります。

 

2. 例題

ここまでの内容は理解できたでしょうか?最後に例題を通して、知識が身についたかどうかの確認を行いましょう。

問題

波長\(\lambda\)、振動数\(f\)の正弦波があり、以下は\(t=0\)における波形です。矢印は波の進行方向を表しています。

【問】これらの波の式を求めよ。

波の進行方向や波の見た目に惑わされないように、注意して問題を解いてください!

それでは解答です。

解答

(1)

原点において、少し時間がたった後の波形を考えると、\(y=0\)から\(y<0\)となっていくので、これは\(-\sin\)型。よって

\( \displaystyle y_o (t)=-A\sin\displaystyle\frac{2\pi}{T}t=-A\sin 2\pi ft \)

と分かります。波の進行方向が\(+x\)方向なので、求める式は、

\( \displaystyle y=-A\sin 2\pi f(t-\displaystyle\frac{x}{v}) \)

\( v = f \lambda \) も用いると

\( \displaystyle y = – A \sin 2\pi (ft – \frac{x}{\lambda}) \cdots(答) \)

【注意】
波の形が\(\sin\)に見えるからといって、\(\sin\)型にしないこと!大事なのは、少し時間がたった後の波形です。

(2)

原点において、少し時間がたった後の波形を考えると、\(y=-A\)から\(y=0\)へと向かっていくので、これは\(-\cos\)型。よって

\( \displaystyle y_o (t)= – A \cos \frac{2\pi}{T} t = – A \cos 2 \pi ft \)

と分かります。波の進行方向が\(-x\)方向なので、求める式は、

\( \displaystyle y=-A\cos 2\pi f(t+ \frac{x}{v}) \)

\( v = f \lambda \) も用いると

\( \displaystyle y = – A \cos 2 \pi ( ft – \frac{x}{\lambda}) \cdots(答) \)

正解することはできたでしょうか?

一度やり方を覚えてしまえば、あとは頭の中でもできる作業です。多くの問題を解いて、解き方を完全に身に付けましょう!

 

3. まとめ

最後に今回学んだことをまとめておきます。ぜひ復習に活用してください!

まとめ

波の式の作り方

①まず、原点(\(x=0\))における、媒質の単振動の式\(y_0 (t)\)を作る。
②次に、\(y(x, t)=y(0, t±\displaystyle\frac{x}{v})\)を用いておわり。

なぜそうなるかというと、

波の進行方向が\(±x\)方向の時、

「位置\(x\)における時刻\(t\)の変位は、位置\(x=0\)における時刻\(t∓\displaystyle\frac{x}{v}\)の変位である」

が成り立ち。これを式で表すと

\( \displaystyle y_P (t) = y_o ( t ∓ \frac{x}{v})(複合同順) \)

となるからである。

 

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