高校物理の公式まとめ【波動編】

・音の高さは振動数の大きさで決まる。
・音の大きさは振幅の大きさで決まる。

弦には、両端が節である定常波ができて、弦の固有振動数と同じ振動数の音を発生させる。このとき弦を伝わる横波の速さ\(v\)は、張力を\(S\)、線密度を\(ρ\)として、

\( \displaystyle v = \sqrt{\frac{S}{ρ}} \)

とできる。

また、長さ \( l \) の弦が \( n \) 倍振動しているとき、

\( \displaystyle \lambda_n = \frac{2l}{n}, \ \ f_n = \frac{nv}{2l} = \frac{n}{2l}\sqrt{\frac{S}{ρ}} \)

と表記することができる。

気柱内での振動は、閉じた口が節、開いた口（開口端）が腹となる。

①閉管の固有振動

\( \displaystyle \lambda_m = \frac{4l}{m}, \ \ f_m = \frac{mV}{4l} \)

ただし \( m \) は奇数。

②開管の固有振動

\( \displaystyle \lambda_n = \frac{2l}{n}, \ \ f_n = \frac{nV}{2l} \)

ただし \( n \) は自然数。

① まず、原点（\( x = 0 \)）における、媒質の単振動の式 \( y_0 (t) \) を作る。
② 次に、\( \displaystyle y(x, t) = y \left( 0, t ± \frac{x}{v} \right) \) を用いておわり。

なぜそうなるかというと、

波の進行方向が \( ± x \) 方向のとき

「位置 \( x \) における時刻 \( t \) の変位は、位置 \( x=0 \) における時刻 \( \displaystyle t ∓ \frac{x}{v} \) の変位である」

が成り立つ。

これを式で表すと

\( \displaystyle y_P (t) = y_o \left( t ∓ \frac{x}{v} \right)（複合同順） \)

となるからである。

波が重なると、干渉して強め合ったり弱めあったりします。

このとき、同位相の波源 \( S_1, \ S_2 \) による点 \( P \) における干渉条件は以下のようになる。

\( \displaystyle \left|S_{1} P-S_{2} P \right| = \lambda \times \left\{ \begin{array}{c}{m} \cdots 強め合う \\ {m + \frac{1}{2}} \cdots 強め合う\end{array} \right. \)

（\( \displaystyle m=0,1,2, \ldots \)）

逆位相の場合は、強め合いと弱めあいの条件が逆になる。

気温 \( t \left[ ℃ \right] \) のとき、音速 \( V \) は以下のように表記できる。

\( \displaystyle V = 331.5 + 0.6t \)

これより、気温が上がるほど音速が大きくなることが分かる。

音源が動く場合のドップラー効果

\( \displaystyle \lambda^{*} = \frac{c-v_s}{f} = \frac{音源に対する音の速さ}{f} \)

観測者が動く場合のドップラー効果

\( \displaystyle f^{*} = \frac{c-v_o }{\lambda} = \frac{観測者に対する音の速さ}{\lambda} \)

どちらも動く場合のドップラー効果

\( \begin{align}
\displaystyle f^{*} & = \frac{c-v_o }{\lambda^{*}} = \frac{c-v_o }{c-v_s} f \\
& = \frac{観測者に対する音の速さ}{音源に対する音の速さ} f
\end{align} \)

風が吹いている場合
⇒ \( c → c+w \) としてドップラー効果の式を適用させればよい。

斜め方向の場合
⇒運動線に関する方向のみでドップラー効果を考えればよい。

反射の法則：\( i = j \)

屈折の法則：\( \displaystyle \frac{\sin i}{\sin n} = \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}} \)

また、光の場合、屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ光が入射するとき、すべての光が反射される現象が起こる（全反射）。

このとき

\( \displaystyle \sin \theta_0 = \frac{n_2}{n_1} \)

が成立する。

ただし、\( \theta_0 \) は臨界角で、\( n_1 > n_2 \) が成立。

・反射による位相変化

屈折率　大⇒小：位相変化なし(自由端反射)
屈折率　小⇒大：位相は\(\pi\)変化する(固定端反射)

光軸上の \( x = – a (a>0) \) から出た光のレンズによる像の位置を \( x=b \) とすると

\( \displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} \)

が成り立つ。

ただし、

\( \begin{cases}
\displaystyle b>0：実像 \\
\displaystyle b<0：虚像
\end{cases} \)

であり、\( f \) は

\( \displaystyle \left| f \right| = 焦点距離 \)

であり、

\( \begin{cases}
\displaystyle 凸レンズ： f = \left| f \right| > 0 \\
\displaystyle 凹レンズ： f = -\left| f \right| < 0
\end{cases} \)

である。

また、このときのレンズの倍率 \( m \) は

\( \displaystyle m = \left| \frac{b}{a} \right| \)

と表記できる。

以下、\( m \) は整数とする。

\( \begin{align}
\displaystyle & [光の経路差（光路差）] \\
\\
& ＝ \left| (S_0 S_2+S_{2} P) – (S_0 S_1+ S_{1} P) \right| \\
\\
& = \left| S_{2} P-S_{1} P \right| \\
\\
& = d \frac{\left|x \right|}{L} \\
\\
& = \lambda \times \left\{ \begin{array}{c}{m} \cdots 明線 \\ {m+\frac{1}{2} \cdots 暗線}\end{array}\right.
\end{align} \)

これを解くと、

\( \displaystyle x = \frac{Lm\lambda}{d} \)

明線同士の間隔は

\( \displaystyle \Delta x = x_{m+1} – x_m = \frac{L\lambda}{d} \)

また、この結果より明線の様子は下図のようになる。

回折格子の明線条件：\( \displaystyle d \sin \theta = m \lambda \ (m=0,1,2,\ldots) \)

回折格子においては線スペクトル（明線）が等間隔で並ぶ！

単スリットの暗線条件：\( a \sin \theta = n \lambda \)