高校物理の公式まとめ【波動編】

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東大塾長の山田です。

このページでは、高校物理の波動の公式についてまとめてあります。

それぞれの公式については、それに該当する記事がある場合、それを詳しく説明した記事へのリンクが貼ってあるので、詳しく見たい場合はそのページに飛んでいただければ。さらなる理解につながると思います!
ぜひ勉強の参考にしてください!

波動公式まとめ

音の基本的知識

まずは以下のことを頭に入れておきましょう。

音の知識まとめ

・音の高さは振動数の大きさで決まる。
・音の大きさは振幅の大きさで決まる。

弦・気柱の振動公式まとめ

これらに関しては、実際に図を書いて丸暗記に終始しないように注意しましょう。

弦・気柱まとめ

弦には、両端が節である定常波ができて、弦の固有振動数と同じ振動数の音を発生させる。このとき弦を伝わる横波の速さ\(v\)は、張力を\(S\)、線密度を\(ρ\)として、

\[v=\sqrt{\displaystyle\frac{S}{ρ}}\]

とできる。また、長さ\(l\)の弦が\(n\)倍振動しているとき、

\[\lambda_n =\displaystyle\frac{2l}{n}, f_n=\displaystyle\frac{nv}{2l}=\displaystyle\frac{n}{2l}\sqrt{\displaystyle\frac{S}{ρ}}\]

と表記することができる。

気柱内での振動は、閉じた口が節、開いた口(開口端)が腹となる。

①閉管の固有振動

\[\lambda_m=\displaystyle\frac{4l}{m},\quad f_m=\displaystyle\frac{mV}{4l}\]

ただし\(m\)は奇数。

②開管の固有振動

\[\lambda_n=\displaystyle\frac{2l}{n},\quad f_n=\displaystyle\frac{nV}{2l}\]

ただし\(n\)は自然数。

 

波の式の公式(作り方)

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波の式まとめ

①まず、原点(\(x=0\))における、媒質の単振動の式\(y_0 (t)\)を作る。
②次に、\(y(x, t)=y(0, t±\displaystyle\frac{x}{v})\)を用いておわり。

なぜそうなるかというと、

波の進行方向が\(±x\)方向の時、

「位置\(x\)における時刻\(t\)の変位は、位置\(x=0\)における時刻\(t∓\displaystyle\frac{x}{v}\)の変位である」

が成り立ち。これを式で表すと

\[y_P (t)=y_o(t∓\displaystyle\frac{x}{v})(複合同順)\]

となるからである。

波の干渉の公式

波動分野の様々なところで出てくる考え方です。必ず頭に入れておきましょう。

干渉まとめ

波が重なると、干渉して強め合ったり弱めあったりします。このとき、同位相の波源\(S_1, S_2\)による点\(P\)における干渉条件は以下のようになる。

\[\left|S_{1} P-S_{2} P\right|=\lambda \times \left\{\begin{array}{c}{m}\cdots強め合う \\ {m+\frac{1}{2}}\cdots強め合う\end{array}\right.\](\(m=0,1,2,\ldots\))

逆位相の場合は、強め合いと弱めあいの条件が逆になる。

音速の公式

細かい数値を覚えておく必要はないですが、何となくの数値は覚えておくと便利です。

音速まとめ

気温\(t\left[℃\right]\)のとき、音速\(V\)は以下のように表記できる。

\[V=331.5+0.6t\]

これより、気温が上がるほど音速が大きくなることが分かる。

ドップラー効果の公式

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ドップラー効果まとめ

音源が動く場合のドップラー効果

\[\lambda^{*}=\displaystyle\frac{c-v_s}{f}=\displaystyle\frac{音源に対する音の速さ}{f}\]

観測者が動く場合のドップラー効果

\[f^{*}=\displaystyle\frac{c-v_o }{\lambda}=\displaystyle\frac{観測者に対する音の速さ}{\lambda}\]

どちらも動く場合のドップラー効果

\[f^{*}=\displaystyle\frac{c-v_o }{\lambda^{*}}=\displaystyle\frac{c-v_o }{c-v_s}f=\displaystyle\frac{観測者に対する音の速さ}{音源に対する音の速さ}f\]

風が吹いている場合
⇒\(c→c+w\)としてドップラー効果の式を適用させればよい。

斜め方向の場合
⇒運動線に関する方向のみでドップラー効果を考えればよい。

ホイヘンスの原理

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ホイヘンスの原理
音や光のような波は、波面上(同位相面)上の各点が点波源となって、そこから出る球面波(素元波)が無数に発生し、それらに共通する面(包絡面)が次の瞬間の波面を形成する。

これにより、波の回折・屈折が説明できる!

反射・屈折の法則

反射・屈折まとめ

反射の法則:\(i=j\)

屈折の法則:\(\displaystyle\frac{\sin i}{\sin n}=\displaystyle\frac{v_{1}}{v_{2}}=\displaystyle\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\displaystyle\frac{n_{2}}{n_{1}}\)

また、光の場合、屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ光が入射するとき、すべての光が反射される現象が起こる(全反射)。このとき

\[\sin\theta_0 =\displaystyle\frac{n_2}{n_1}\]

が成立する。ただし、\(\theta_0\)は臨界角で、\(n_1>n_2\)が成立。

・反射による位相変化

屈折率 大⇒小:位相変化なし(自由端反射)
屈折率 小⇒大:位相は\(\pi\)変化する(固定端反射)

レンズの公式

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レンズの公式まとめ

光軸上の\(x=-a (a>0)\)から出た光のレンズによる像の位置を\(x=b\)とすると、

\[\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}=\displaystyle\frac{1}{f}\]

が成り立つ。

ただし、

\[
\begin{cases}
b>0:実像\\
b<0:虚像
\end{cases}
\]

であり、\(f\)は

\[\left|f \right|=焦点距離\]

であり、

\[
\begin{cases}
凸レンズ:f=\left|f \right|>0\\
凹レンズ:f=-\left|f \right|<0
\end{cases}
\]

である。また、このときのレンズの倍率\(m\)は

\[m=\left|\displaystyle\frac{b}{a} \right|\]

と表記できる。

ヤングの実験

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ヤングの実験まとめ

以下、\(m\)は整数とする。

\[[光の経路差(光路差)]=\left|(S_0 S_2+S_{2} P)-(S_0 S_1+ S_{1} P)\right|\] \[\qquad \qquad \qquad \qquad \quad=\left|S_{2} P-S_{1} P\right|\] \[\qquad \qquad \qquad \qquad \quad=d\displaystyle\frac{\left|x \right|}{L}\] \[\qquad \qquad \qquad \qquad \quad=\lambda \times \left\{\begin{array}{c}{m}\cdots明線 \\ {m+\frac{1}{2} \cdots暗線}\end{array}\right.\]

これを解くと、

\[x=\displaystyle\frac{Lm\lambda}{d}\]

明線同士の間隔は

\[\Delta x=x_{m+1} -x_m=\displaystyle\frac{L\lambda}{d}\]

また、この結果より明線の様子は下図のようになる。

回折格子の公式

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回折格子まとめ

回折格子の明線条件:\(d\sin\theta=m\lambda\quad(m=0,1,2,\ldots)\)

回折格子においては線スペクトル(明線)が等間隔で並ぶ!

単スリットの暗線条件:\(a\sin\theta=n\lambda\)

以上です!波動分野の公式は、紛らわしい形をしているものが多いので、実際に図を書くなどして、いつでも導出できるようにしておきましょう。

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