複雑なルートの分数の有理化のやり方と問題

東大塾長の山田です。
このページでは、「ルートの分数の有理化のやり方」について解説します。

「有理化の基本」から、「複雑な分数の有理化」まで、例題を解きながら丁寧に分かりやすく解説していきます。

「基本的なことはわかってる！」という方は、「3. 分母の項が2つの場合の有理化のやり方」、
あるいは、「4. 分母の項が3つの場合の有理化のやり方」からご覧ください。

それでは、この記事を最後まで読んで、「有理化のやり方」をマスターしてください！

1. 有理化とは？

まずは、「有理化とは何か？」ということについて、確認しておきましょう。

分母に根号（ルート）を含む式を、分母に根号（ルート）を含まない形に変形することを、分母の有理化といいます。

「分母の無理数（ルート）を有理数に変形すること」なので、「分母の有理化」というわけです。

2. 有理化のやり方（基本）

それでは、有理化のやり方を解説していきます。

2.1 有理化のやり方基本3ステップ

有理化のやり方の基本は、次の3つの手順でやっていきます。

具体的に問題を使って解説していきましょう。

2.2 【例題①】\( \frac{2}{\sqrt{3}} \)

この問題は「① ルートの中を簡単にし、約分する」は該当しないので、
「② 分母にあるルートを、分母・分子に掛ける」からいきます。

分母に \( \sqrt{3} \) があるので、分母・分子に \( \sqrt{3} \) を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} & = \frac{2}{\sqrt{3}} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} } \\
\\
& = \frac{2\sqrt{3}}{3}
\end{align} \)

すると、分母にルートがない形になったので、完了です。

2.3 【例題②】\( \frac{10}{\sqrt{5}} \)

今回も「② 分母にあるルートを、分母・分子に掛ける」から出発します。

分母に\( \sqrt{5} \) があるので、分母・分子に \( \sqrt{5} \) を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}} & = \frac{10}{\sqrt{5}} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} } \\
\\
& = \frac{10\sqrt{5}}{5}
\end{align} \)

分母にルートがない形になりました。

でも！ここで注意です！！

今回は、「③ 分子のルートを簡単にし、約分する」ができます。

\( \begin{align}
\displaystyle & = \frac{10\sqrt{5}}{5} \\
\\
& = 2\sqrt{5}
\end{align} \)

これで有理化完了です。

解答をまとめます。

2.4 【例題③】\( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \)

今回の問題では、分子にもルートがありますね。
でも、関係ありません。

分母・分子に\( \sqrt{7} \)を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} & = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} } \\
\\
& = \frac{\sqrt{14}}{7}
\end{align} \)

分母にルートがない形になったので、これで有理化完了です。

2.5 【例題④】\( \frac{8}{\sqrt{18}} \)

今回の問題では、「① ルートの中を簡単にし、約分する」が登場です。
分母の \( \sqrt{18} \) を先に簡単にしてから有理化すると、楽に計算ができます。

まずは、\( \sqrt{18} \)を先に簡単にします。

\( \displaystyle \frac{8}{\sqrt{18}} = \frac{8}{3\sqrt{2}} \)

ルートの中を簡単にしたので、有理化をします。

分母が \( 3\sqrt{2} \) ですが、掛けるのはルートの部分、
つまり、\( \sqrt{2} \) だけ掛ければOKです。

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{8}{\sqrt{18}} & = \frac{8}{3\sqrt{2}} \\
\\
& = \frac{8}{3\sqrt{2}} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} } \\
\\
& = \frac{8\sqrt{2}}{3 \times 2} \\
\\
& = \frac{8\sqrt{2}}{6}
\end{align} \)

有理化が完了しましたが、今回も約分ができるので、注意が必要です。

\( \begin{align}
\displaystyle & = \frac{8\sqrt{2}}{6} \\
\\
& = \frac{4\sqrt{2}}{3}
\end{align} \)

これで、解となります。

解答をまとめます。

2.6 【例題⑤】\( \frac{\sqrt{15}-4}{\sqrt{3}} \)

今回の問題では、分子の項が2つあります。
このような場合でも、これまで通りのやり方で有理化すればOKです。

分母・分子に \( \sqrt{3} \) を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{\sqrt{15}-4}{\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{15}-4}{\sqrt{3}} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} } \\
\\
& = \frac{\sqrt{45}-4\sqrt{3}}{3}
\end{align} \)

ここで、分子の\( \sqrt{45} \)が、「③ 分子のルートを簡単にし、約分する」ができます。

\( \begin{align}
\displaystyle & = \frac{\sqrt{45}-4\sqrt{3}}{3} \\
\\
& = \frac{3\sqrt{5}-4\sqrt{3}}{3}
\end{align} \)

これで完了です。

解答をまとめます。

3. 分母の項が2つのときの有理化

次は、「分母の項が2つのときの有理化のやり方」を解説します。

3.1 分母の項が2つのときの有理化のやり方

分母の項が2つの式では、乗法公式の和と差の積

\( \displaystyle \large{ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 } \)

を用いて、有理化をします。

\( \begin{align}
\displaystyle & (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \\
\\
= & (\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2 \\
\\
= & a-b
\end{align} \)

といった具合に、乗法公式の和と差の積を用いると、各項が2乗され、ルートを取り払うことができます。

具体的に問題を使って解説していきましょう。

3.2 【例題⑥】\( \frac{1}{\sqrt{3}+2} \)

分母が \( \sqrt{3}+2 \) なので、和と差の積の形になるように、分母・分子に \( (\sqrt{3}-2) \) を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \frac{1}{\sqrt{3}+2} } & = \frac{1}{\sqrt{3}+2} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2} } \\
\\
& = \frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3})^2-2^2} \\
\\
& = \frac{\sqrt{3}-2}{3-4} \\
\\
& = \frac{\sqrt{3}-2}{-1} \\
\\
& \color{red}{ = -\sqrt{3}+2 }
\end{align} \)

すると、分母にルートがない形になったので、完了です。

3.3 【例題⑦】\( \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)

分子にもルートがあり、少し複雑に見えますが、有理化のやり方は変わりません。

分母が \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \) なので、和と差の積の形になるように、分母・分子に \( (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \) を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} } & = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} } \\
\\
& = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} \\
\\
& = \frac{5+2\sqrt{6}}{3-2} \\
\\
& = \frac{5+2\sqrt{6}}{1} \\
\\
& \color{red}{ = 5+2\sqrt{6} }
\end{align} \)

分母にルートがない形になったので、完了です。

3.4 【例題⑧】\( \frac{2}{5-2\sqrt{6}} \)

今回は、分母のルートに係数があるパターンです。
これもやり方は変わらず、和と差の積になるものを掛けます。

分母が \( 5-2\sqrt{6} \) なので、和と差の積の形になるように、分母・分子に \( (5+2\sqrt{6}) \) を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \frac{2}{5-2\sqrt{6}} } & = \frac{2}{5-2\sqrt{6}} \color{blue}{ \times \frac{5+2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}} } \\
\\
& = \frac{10+4\sqrt{6}}{5^2-(2\sqrt{6})^2} \\
\\
& = \frac{10+4\sqrt{6}}{25-24} \\
\\
& = \frac{10+4\sqrt{6}}{1} \\
\\
& \color{red}{ = 10+4\sqrt{6} }
\end{align} \)

これで有理化完了です。

4. 分母の項が3つのときの有理化のやり方

次は、「分母の項が3つのときの有理化のやり方」を解説します。

分母の項が3つのときも、2つのときと同じように、和と差の積を使います！

具体的に問題を使って解説していきましょう。

4.1 【例題⑨】\( \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \)

分母の項が3つのときは、左の2つの項にかっこをつけて1つにまとめて、分母全体で2つの項として考えます。

今回の場合であれば、分母を

と考えて、2つの項として考えます。

これと和と差の積になるようなものは

となります。

これを分母・分子に掛けてあげることで、有理化ができます。

\( \begin{align}
& \frac{1}{ \color{red}{ 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} } } \\
\\
= & \frac{1}{ \color{red}{ (1+\sqrt{2})+\sqrt{3} } } \\
\\
= & \frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \color{blue}{ \times \frac{ (1+\sqrt{2})-\sqrt{3} }{ (1+\sqrt{2})-\sqrt{3} } } \\
\\
= & \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} \\
\\
= & \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+2\sqrt{2}+2)-3} \\
\\
= & \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
\end{align} \)

これで1段階目が完了です。
あとは、これまでの有理化のやり方をもう一度やります。

分母が \( 2\sqrt{2} \) なので、分母・分子に \( \sqrt{2} \) を掛けます。

\( \begin{align}
\displaystyle & = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\
\\
& = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \color{blue}{ \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} } （有理化）\\
\\
& = \frac{\sqrt{2} + 2 – \sqrt{6}}{4} \\
\\
& = \frac{2 + \sqrt{2} – \sqrt{6}}{4} （分子を並び替えた）\\
\end{align} \)

これで有理化ができました。

解答をまとめます。

4.2 【例題⑩】\( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{11}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{11}} \)

最後は、有理化のやり方は例題⑨と同じですが、計算に工夫が必要な問題です。

まずは、有理化するためにかけるものを考えます。

そこで、組み合わせを変えて、工夫して計算をします。

分子の組み合わせを

とすると、スッキリ分子の計算ができます。

かなり複雑になってきましたが、1行1行確実に理解をしてください。
もう一度解答を確認しましょう。

5. ルートの分数の有理化のやり方まとめ

さいごに、有理化のやり方をまとめておきます。

以上が有理化のやり方の解説です。
今回は、超基本から複雑な式まで、たくさんの例題を解説しました。

どれも重要な問題ですので、必ずマスターしておきましょう！