【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの表と覚え方

東大塾長の山田です。
このページでは、【数学ⅠA】の「三角比sin,cos,tanの表と覚え方」について解説します

三角比の値は、丸暗記ではなく、理解してしまえば「自分で考えて普通にすぐわかる」状態になることができます

この記事を最後まで読んで、三角比の基礎を固めましょう!

1. 三角比sin cos tanの覚え方

「\( \sin, \cos, \tan \)」の覚え方は、次のように統一して覚えましょう。

この覚え方であれば、数学Ⅱ以降も共通して使えます。

半径1の円とその円周上の点 \( P(x, y) \) を考えて、その

  • \[ \large{ x \ 座標= \cos \theta } \]
  • \[ \large{ y \ 座標= \sin \theta } \]
  • \[ \large{ \frac{y}{x}(OPの傾き)=\tan \theta } \]

となります。

 

図で表すと下のようになります。

 

さらに、「\( 1:1:\sqrt{2} \)の\( 45^\circ \)形」、「\( 1:2:\sqrt{3} \)の\( 30^\circ – 60^\circ \)形」の2つも三角形も覚えておきます。

 

この2つのことを覚えておけば、次の三角比の表は「覚えなくても自力で考えてわかる」ようになります

  30° 45° 60° 90°
\( \sin \) \( 0 \) \( \displaystyle \frac{1}{2} \) \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( 1 \)
\( \cos \) \( 1 \) \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( \displaystyle \frac{1}{2} \) \( 0 \)
\( \tan \) \( 0 \) \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \) \( 1 \) \( \displaystyle \sqrt{3} \) ×
  120° 135° 150° 180°
\( \sin \) \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( \displaystyle \frac{1}{2} \) \( 0 \)
\( \cos \) \( \displaystyle -\frac{1}{2} \) \( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \) \( \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( -1 \)
\( \tan \) \( \displaystyle -\sqrt{3} \) \( -1 \) \( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}} \) \( 0 \)

 

2. 練習問題で具体的にやってみよう

具体的に図を見ながら考えていきましょう。

2.1 【例題(1)】45°の三角比

例題(1)

\( \sin 45^\circ, \ \cos 45^\circ, \ \tan 45^\circ \)の値を求めよ。

上のような図になるので、

\( \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ y=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ [OPの傾き]=1 \)

なので、

\( \displaystyle \cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ \tan 45^\circ=1  \)

だとわかります。

 

2.2 【例題(2)】60°の三角比

例題(2)

\( \sin 60^\circ, \ \cos 60^\circ, \ \tan 60^\circ \)の値を求めよ。

上のような図になるので、

\( \displaystyle x=\frac{1}{2}, \ \ y=\frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ [OPの傾き]=\sqrt{3} \)

なので、

\( \displaystyle \cos 60^\circ=\frac{1}{2}, \ \ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \tan 60^\circ=\sqrt{3} \)

だとわかります。

 

2.3 【例題(3)】90°の三角比

例題(3)

\( \sin 90^\circ, \ \cos 90^\circ, \ \tan 90^\circ \)の値を求めよ。

上のような図になるので、

\( \displaystyle x=0, \ \ y=1, \ \ [OPの傾き]=\infty \)

なので、

\( \displaystyle \cos 90^\circ=0, \ \ \sin 90^\circ = 1, \ \ \tan 90^\circ=なし \)

となります。

 

\( 90^\circ \)のとき、傾きは無限となり値を表現できません。

なので、「\( \tan 90^\circ \)は定義できない」と表現します。

 

以上が「三角比sin,cos,tanの表と覚え方」についての解説です。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です