東大塾長の山田です。
このページでは、「放物線」について解説します。
今回は放物線の標準形の式から頂点・焦点・準線，媒介変数表示，接線の公式まですべて解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 放物線
まずは放物線の定義と方程式について解説していきます。
1.1 放物線の定義・焦点・準線
中学や数Ⅰでは，2次関数 y = ax^2 + bx + c のグラフが放物線を表すことは学習しましたが，放物線の定義は次のようになります。
1.2 放物線の方程式［標準形］
まずは放物線の方程式と性質をまとめます。
放物線 \color{red}{ y^2 = 4px } （ p \neq 0 ）［標準形］
- 頂点：原点 (0, \ 0)
- 焦点： (p, \ 0)
- 準線： x = -p
- 軸： x 軸（放物線は軸に関して対称）
上図のように，焦点 F(p, \ 0) ，準線 l を x = -p とします。
放物線上の点を P(x, \ y) から l へ下ろした垂線を PH とすると， PF = PH であるから，
\displaystyle \sqrt{(x-p)^2 + y^2} = |x – (-p)|
両辺を2乗して
\displaystyle (x-p)^2 + y^2 = (x+p)^2
∴ \ \color{red}{ y^2 = 4px } \cdots ①
この①を，放物線の方程式の 標準形 といいます。
【例】
放物線 y^2 = x は
\displaystyle y^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} x
と変形できるから，
焦点は \displaystyle \left( \frac{1}{4}, \ 0 \right) ，準線は \displaystyle x = \ – \frac{1}{4}
また，放物線の方程式 y^2 = 4px において， x と y を入れ替えて得られる方程式
\displaystyle \color{red}{ x^2 = 4py }
は， y 軸を軸とした，焦点 (0, \ p) ，準線 y = -p とする放物線となります。
これは，数学Ⅰで学習する放物線 y = ax^2 と同様の形で， y^2 = 4px を直線 y = x に関して対称移動したものです。
放物線 y = ax^2 の焦点と準線は，
\displaystyle x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4a}
から，それぞれ
焦点： \displaystyle \left( 0, \ \frac{1}{4a} \right) ，準線： \displaystyle y = – \frac{1}{4a}
となります。
2. 放物線の接線の方程式の公式
放物線 y^2 = 4px 上の点 x_1, \ y_1 における接線の方程式は
\displaystyle \color{red}{ y_1 y = 2p(x + x_1) }
なぜこのような式になるのか，示しておきます。
放物線と直線が接するということは，放物線と直線の連立方程式から x だけの2次方程式を導き，その方程式の判別式が D = 0 となればよいわけです。
これを利用して，接線の方程式を導きます。
【証明】
放物線 y^2 = 4px \cdots ① の，傾き m の接線の方程式を
y = mx + n （ m \neq 0 ） \cdots ②
とし，接点の座標を x_1, \ y_1 とする。
②を①に代入して， x について整理すると
\displaystyle m^2 x^2 + 2 ( mn – 2p ) x + n^2 = 0 \cdots ③
②の直線が①の放物線に接する条件は，③の2次方程式の判別式 D が D = 0 のときであるから
\displaystyle \frac{D}{4} = (mn – 2p)^2 – m^2 n^2 = 0
\displaystyle ∴ \ n = \frac{p}{m} \cdots ④
このとき，③の解（重解）は
\displaystyle x_1 = \frac{-(mn – 2p)}{m^2} = \frac{p}{m^2}
これと④を、②に代入して
\displaystyle y_1 = mx_1 + n = \frac{p}{m} + \frac{p}{m} = \frac{2p}{m}
したがって， y_1 \neq 0 のとき
\displaystyle m = \frac{2p}{y_1}, \ n = \frac{y_1}{2}
これらを②に代入すると
\displaystyle y = \frac{2p}{y_1} x + \frac{y_1}{2}
\displaystyle ∴ \ y_1 y = 2px + \frac{{y_1}^2}{2}
また， \color{magenta}{ {y_1}^2 = 4px_1 } であるから
\displaystyle \color{red}{ y_1 y } = 2px + \frac{\color{magenta}{ 4px_1 }}{2} \color{red}{ = 2p(x + x_1) }
さらに， y_1 = 0 のとき x_1 = 0 であり，接線の方程式は x=0 となり， y_1 = 0 のときも成り立つ。
3. 放物線の媒介変数表示
放物線 y^2 = 4px の媒介変数表示は
\color{red}{ \begin{cases} x = pt^2 \\ \\ y = 2pt \end{cases} }
放物線 y^2 = 4px と， y 軸に平行な直線群 y = 2pt との交点を P(x, \ y) とすると，
\displaystyle (2pt)^2 = 4px
∴ \ x = pt^2
よって
\displaystyle \color{red}{ x = pt^2, \ y = 2pt }
ある曲線の式の x と y を，それぞれ変数 t の関数として表すことを 媒介変数表示（またはパラメータ表示）といいます。
また， t を 媒介変数（またはパラメータ）といいます。
以上が放物線の解説です！
「定点Fと，Fを通らない定直線 l からの距離が等しい点の軌跡」を 放物線 という。
また，点Fを 焦点，直線 l を 準線 ，焦点を通り準線に垂直な直線を 軸 といい，軸と放物線の交点を 頂点 という。