複素数平面の公式まとめ（極形式・回転・ドモアブルの定理）

【例】

　・ \( -1 + 2i \) （虚数）
　・\( 8 \ – \ i \) （虚数）
　・\( \sqrt{3} i \) （純虚数）

【証明】

複素数 \( \alpha = a + bi \) の \( k \) 倍を考えると，\( k \alpha = ka + kbi \) と表せる。

図に表すと，下図のようになる。

よって，点 \( k \alpha \) は直線 \( l \) 上にある。

また，この直線 \( l \) は，\( \alpha \) の実数倍の複素数を表しているので，上記の公式が成り立つ。

点 \( \overline{ \alpha } \) は点 \( \alpha \) と実軸に関して対称

点 \( – \alpha \) は点 \( \alpha \) と原点に関して対称

点 \( – \overline{ \alpha } \) は点 \( \alpha \) と虚軸に関して対称

【証明】

\( z = a + bi \) とすると

\( \color{red}{ z \overline{z} } = (a+bi) (a-bi) = a^2 + b^2 \color{red}{ = |z|^2 } \)

また，絶対値は原点と点 \( z \) との距離であることを考えると，［1］と［2］が成り立つことは明らか。

［2］を用いると

\( |\alpha \beta |^2 = \alpha \beta \overline{ \alpha \beta } = \alpha \overline{\alpha} \beta \overline{\beta} = \left( |\alpha| |\beta| \right)^2 \)

\( |\alpha \beta| ≧ 0 \)，\( |\alpha| |\beta| ≧ 0 \) なので，

\( \color{red}{ |\alpha \beta| = |\alpha| |\beta| } \) （←［3］）

さらに，\( \beta \neq 0 \) のとき，\( \displaystyle \beta \cdot \frac{\alpha}{\beta} = \alpha \) であるから，［3］を用いて

\( \displaystyle \left| \beta \cdot \frac{\alpha}{\beta} \right| = |\beta| \cdot \left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = |\alpha| \)

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ \left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|} } \) （←［4］）

【証明】

上の図から，2点 \( \alpha, \ \beta \) 間の距離は

\( \displaystyle \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} \)

また，\( \beta – \alpha = (c-a) + (d-b)i \) であるから，絶対値の定義より，2点 \( \alpha, \ \beta \) 間の距離は \( \color{red}{ |\beta \ – \alpha| } \) となる。

【積の極形式の証明】

\( \begin{align}
& z_1 z_2 \\
\\
& = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\
\\
& = r_1 r_2 \left\{ ( \cos \theta_1 \cos \theta_2 + i^2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 ) + i ( \cos \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_1 \cos \theta_2 ) \right\} \\
\\
& = r_1 r_2 \left\{ ( \color{blue}{ \cos \theta_1 \cos \theta_2 – \sin \theta_1 \sin \theta_2 } ) + i ( \color{magenta}{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2 } ) \right\} \\
\\
& = r_1 r_2 \left\{ \color{blue}{ \cos ( \theta_1 + \theta_2 ) } + i \color{magenta}{ \sin (\theta_1 + \theta_2 ) } \right\}
\end{align} \)
（色付き文字部分は加法定理による変形です。）

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ z_1 z_2 = r_1 r_2 \left\{ \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2) \right\} } \)

また

\( \displaystyle |z_1 z_2| = r_1 r_2 = |z_1| |z_2| \)

\( \displaystyle \arg (z_1 z_2) = \theta_1 + \theta_2 = \arg z_1 + \arg z_2 \)

【商の極形式の証明】

\( \begin{align}
\displaystyle & \frac{z_1}{z_2} \\
\\
& = \frac{ r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) }{ r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) } \\
\\
& = \frac{ r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) }{ r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) } \color{green}{ \times \frac{\cos \theta_2 – i \sin \theta_2}{\cos \theta_2 – i \sin \theta_2} } \\
\\
& = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{ \left\{ ( \cos \theta_1 \cos \theta_2 – i^2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 ) + i ( \sin \theta_1 \cos \theta_2 – \cos \theta_1 \sin \theta_2 ) \right\} }{ \cos ^2 \theta_2 + \sin ^2 \theta_2 } \\
\\
& = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{ \left\{ ( \color{blue}{ \cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 } ) + i ( \color{magenta}{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 – \cos \theta_1 \sin \theta_2 } ) \right\} }{ 1 } \\
\\
& = \frac{r_1}{r_2} \left\{ \color{blue}{ \cos(\theta_1 – \theta_2) } + i \color{magenta}{ \sin (\theta_1 – \theta_2) } \right\}
\end{align} \)
（3行目緑文字の変形は有理化，色付き文字部分は加法定理による変形です。）

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left\{ \cos(\theta_1 – \theta_2) + i \sin (\theta_1 – \theta_2) \right\} } \)

また

\( \displaystyle \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{r_1}{r_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} \)

\( \displaystyle \arg \left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \theta_1 – \theta_2 = \arg z_1 – \arg z_2 \)

【証明】

\( z = \cos \theta + i \sin \theta \) を掛けると，絶対値は1のままで，偏角は \( \theta \) だけ回転する。よって

\( \begin{align}
(\cos \theta + i \sin \theta )^2 & = \cos (\theta + \theta) + i \sin (\theta + \theta) \\
& = \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta
\end{align} \)

\( \begin{align}
(\cos \theta + i \sin \theta )^3 & = (\cos \theta + i \sin \theta )^2 (\cos \theta + i \sin \theta ) \\
& = (\cos 2 \theta + i \sin 2 \theta ) (\cos \theta + i \sin \theta ) \\
& = \cos (2 \theta + \theta) + i \sin (2 \theta + \theta) \\
& = \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta
\end{align} \)

となり，一般に，自然数 \( n \) について次の等式が成り立つ。

\( \displaystyle \color{red}{ ( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta } \cdots ① \)

0でない複素数 \( z \) に対して \( z^0 = 1 \) と定めると，①は \( n = 0 \) のときも成り立つ。

さらに，\( \displaystyle z^{-n} = \frac{1}{z^n} \) と定めると，①より

\( \begin{align}
\displaystyle (\cos \theta + i \sin \theta )^{-n} & = \frac{1}{(\cos \theta + i \sin \theta )^n} \\
\\
& = \frac{1}{\cos n \theta + i \sin n \theta } \\
\\
& = \cos ( n \cdot (-\theta) ) + i \sin ( n \cdot (-\theta) ) \\
\\
& = \cos (-n \theta) + i \sin (-n \theta)
\end{align} \)

よって，ド・モアブルの定理が成り立つ。

【証明】

\( z^n = 1 \) から　\( |z|^n = 1 \)

よって　\( |z| = 1 \)

\( z = \cos \theta + i \sin \theta \) とおくと

\( z^n = (\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \)

したがって

\( \cos n \theta + i \sin n \theta = 1 \)

実部と虚部を比較して，

\( \cos n \theta = 1, \ \sin n \theta = 0 \)

よって　\( n \theta = 2 \pi \times k \)

すなわち　\( \displaystyle \theta = \frac{2 k \pi}{n} \) （\( k \) は整数）

\( \displaystyle z_k = \cos \frac{2k \pi}{n} + i \sin \frac{2k \pi}{n} \)

とおくと，\( (z_k)^n = 1 \) が成り立ち，\( z_k \) は1の \( n \) 乗根となる。

また，\( z_{n+k} \) と \( z_k \) の偏角は \( 2 \pi \) だけ異なり，絶対値はともに1なので，\( z_{n+k} = z_k \) が成り立つ。

\( z_k \) のうち互いに異なるものは \( z_0, z_1, z_2, \cdots , z_{n-1} \) の \( n \) 個である。