パップス・ギュルタンの定理について

【参考】物理における重心

\(x_G=\displaystyle\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots +m_n x_n}{m_1+m_2+\cdots +m_n}\)

【導出】

上図の図形の重心\(x_G\)を求めていきます。物理における重心公式では、質量\(m\)と座標が用いられていました。座標は分かっているので、質量を求めることを目標にしていきます。

図形の面密度を\(\rho\)とすると、\(x～x+dx\)における微小面積は、上図のオレンジ色の射線部の面積を長方形で近似することで

\(\rho f(x) dx\)

と書くことができます。つまり、重心の\(x\)座標\(x_G\)は、物理の重心公式を参考にすると

\(\begin{aligned}x_G&=\displaystyle\frac{\int_a^b x\rho f(x) dx}{\int_a^b \rho f(x) dx}\\&=\displaystyle\frac{\int_a^b x f(x) dx}{\int_a^b f(x) dx}\\&=\frac{\int_a^b x f(x) dx}{S}\end{aligned}\)

となります。

【証明】

バウムクーヘン積分の帰結部分より

\(V=2\pi \displaystyle\int_a^b x f(x) dx\)

となります。ここで重心の定義式より

\(d S=\displaystyle\int_a^b xf (x) dx\)

だから

\(V=S\times 2\pi d\)

となることが分かりました。

【正攻法】

塩の方程式について解くと

\(y=a±\sqrt{r^2-x^2}\)

となります。ここで\(y_± =a±\sqrt{r^2-x^2}\)とおきます。（複合同順）

このとき、求める回転体の体積は

\(\begin{aligned}V&=\pi\displaystyle\int_{-r}^r \left({y_+}^2-{y_-}^2\right) dx\\&=\pi\int_{-r}^r\{\left(a+\sqrt{r^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\} dx\\&=\pi\int_{-r}^r 4a\sqrt{r^2-x^2} dx\\&=4\pi a\cdot\left(\frac{1}{2}\pi r^2\right)\\&=2\pi^2ar^2\end{aligned}\)

となりました。パップス・ギュルダンの定理を用いましょう。

【検算】

パップス・ギュルダンの定理を用います。円の面積が\(S=\pi r^2\)となり、重心の移動距離が\(2\pi a\)だから、求める体積は

\(V=[重心の移動距離]\times S=2\pi^2 ar^2\)

となりもちろん解答と一致しました。