ロピタルの定理まとめ（証明・問題・使い方）

【例】　\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x}=1\)

これにロピタルの定理を用いると

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\cos x}{1}=1\)

となり、同じ結果が導出できました。

【例】　\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin 2x}{x+\sin x}\)

・正攻法

\[\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin 2x}{x+\sin x}&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x \cos x}{x+\sin x}\\&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \cos x}{1+\frac{\sin x}{x}}\\&=\frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{1+1}=1\\\end{aligned}\]

・ロピタルの定理

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin 2x}{x+\sin x}\)は不定形だから、ロピタルの定理より

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin 2 x}{x+\sin x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{2 \cos 2 x}{1+\cos x}=1\)

となり同じ結果になりましたね。

【例】　\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\sin x}{x^{3}}\)

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\sin x}{x^{3}}\)は不定形だから、ロピタルの定理より

\(\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\sin x}{x^{3}}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\cos x}{3 x^{2}}\\&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin x}{6 x}\\&=\displaystyle\frac{1}{6}\\\end{aligned}\)

が分かります！

【解答】正攻法

\[\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{x-\cos x}{x}&=\displaystyle\lim_{x\to\infty}1-\displaystyle\frac{\cos x}{x}\\&=1\quad (∵はさみうちの原理)\\\end{aligned}\]

【証明】

開区間\([a, b]\)において関数\(h(t)\)を

\(h(t) :=f(t)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\{g(t)-g(a)\}\)

と定義します。このとき、\(h(t)\)は

\(h(a)=h(b)=f(a)\)

を満たします。ここで、ラグランジュの平均値の定理より

\(\left.\displaystyle\frac{d h(t)}{d t}\right|_{t=c}=\displaystyle\frac{h(b)-h(a)}{b-a}=0\)

なる実数\(c\)（\(a<c<b\)）が存在します。したがって

\(\begin{aligned}\left.\frac{d h(t)}{d t}\right|_{t=c}&=\left.\frac{d f(t)}{d t}\right|_{t=c}-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \cdot\left.\frac{d g}{d t}\right|_{t=c}\\&=0\\\end{aligned}\)

が成立するので、閉区間\([a,b]\)で、

\(\left.\displaystyle\frac{d f(t) / d t}{d g(t) / d t}\right|_{t=c}=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

なる\(c\)が常に存在します。これによりコーシーの平均値の定理が示されました。

【証明】

関数\(f(t),g(t)\)は\(x=a\)の近傍で微分可能なので、コーシーの平均値の定理を用いると

\(\begin{aligned}\left.\frac{d f(t) / d t}{d g(t) / d t}\right|_{c}&=\frac{f(t)-f(a)}{g(t)-g(a)}\\&=\frac{f(t)}{g(t)}\end{aligned}\)

なる実数\(c\)（\(a<c<b\)）ご存在することが分かります。

ここで\(t\to a\)とすると、はさみうちの原理より、\(c\to a\)となるから

\(\begin{aligned}\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}&=\lim _{t \rightarrow a} \frac{d f(t) / d t}{d g(t) / d t}\\&=\displaystyle\lim_{t\to a}\displaystyle\frac{f'(t)}{g'(t)}\\\end{aligned}\)

となり、ロピタルの定理が証明されました。