東大塾長の山田です。
このページでは、高校数学の微分公式について詳しく説明しています。
暗記必須の微分公式をわかりやすく、そして証明や例も付けて解説しています。この記事を読むだけで、高校範囲の微分は完璧にできるようになります！
ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 高校数学の微分公式一覧
1.1 微分の記法
まずは微分の記法から説明していきます。
1.2 微分の基本性質・公式
次に、微分で用いる基本公式を説明します。証明も後述するのですが、形を覚えることもかなり大切です。
基本性質
項別に微分することができ、定数は外に出すことができる（このことは線形性と呼ばれる）
\[\{af(x)+bg(x)\}’=af'(x)+bg'(x)\]
基本公式
\[(x^n)’=nx^{n-1}\]
\[(\rm{const.})’=0\]
\[(\sin x)’=\cos x\]
\[(\cos x)’=-\sin x\]
\[(\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\]
\[(e^x)’=e^x\]
\[(a^x)’=a^x \log a\]
\[(\log |x|)’=\displaystyle\frac{1}{x}\]
これらは微分をする際に用いられる公式です。微分問題では、上の公式のいづれかが必ず用いられます。必ず頭に入れておきましょう。
1.3 計算例
次に、いくつか計算例を示しておきます。実際に解いて確認するのも良いでしょう。
【計算例】
・ \[(x^2+3x+e^x)’=2x+3+e^x\]
・ \[(\sin x+\cos x)’=\cos x-\sin x\]
・ \[(\log |x|+2^x)’=\displaystyle\frac{1}{x}+2^x \log 2\]
これらは覚えてしまえば簡単ですね！
1.4 証明
次に証明について扱います。証明について直接問われることはあまり多くありませんが、微分の定義や、和積公式が登場してくるので計算問題としても活用することができます。一度確認しておくと良いでしょう。
\((x^n)’=nx^{n-1}\)の証明
【証明】
二項定理により
\[ (x+h)^n = x^n + {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + {_n \mathrm{ C }_2} x^{n-2}h^2 + \cdots \cdots + {_n \mathrm{ C }_n} h^n \]
よって
\[ \begin{align}
\Delta y & = (x+h)^n – x^n \\
& = {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + \left( {_n \mathrm{ C }_2} x^{n-2} + \cdots \cdots + {_n \mathrm{ C }_n} h^{n-2} \right) h^2
\end{align} \]
したがって
\[ \begin{align}
\displaystyle \left( x^n \right)’ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n – x^n }{h} \\
\\
& = \lim_{h \to 0} \left\{ {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + \left( \cdots \cdots \right) h \right\} \\
\\
& = {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h \\
\\
& = n x^{n-1}
\end{align} \]
\((\rm{const.})’=0\)の証明
【証明】
\( f(x) = k \) とおくと，\( f(x+h) = k \) であるから
\[ \Delta y = k \ – k = 0 \]
したがって
\[ \begin{align}
\displaystyle f’(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
\\
& = \lim_{h \to 0} 0 = 0
\end{align} \]
\((\sin x)’=\cos x\)の証明
【証明】微分の定義にのっとっていきましょう。
\[(\sin x)’ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\]
これに三角関数の和積公式を用いていきます。
すると
\[\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin \frac{h}{2} \cos \left(x+\frac{h}{2}\right)}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\\&=\cos x\\\end{aligned}\]
\((\cos x)’=-\sin x\)の証明
\(\sin x\)の微分同様の方針でもできるのですが、それだと面白くないので違うやり方でやってみましょう。
【証明1】平行移動を用いていきます。
ここで用いるのは、\(\cos x=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\)です。
上の等式より
\[(\cos x)^{\prime}=\left(\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)^{\prime}\]
ここで、\(\sin x\)の微分公式と合成関数の微分公式（後述）より
\[\left(\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)^{\prime}=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\]
さらに加法定理を用いると、
\[\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x\]
となり、無事示されました。
和積公式を用いた証明も載せておきます。
【証明2】
\[\begin{aligned}(\cos x)’ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-2 \sin \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \frac{h}{2}}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow 0}\left\{-\sin \left(x+\frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right\}\\&=-\sin x \cdot 1\\&=-\sin x\end{aligned}\]
\(\tan x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)の証明
これも和積公式を用いて証明しますが、それとはまた別に後に扱う商の微分公式を用いても証明します。
【証明1】和積公式を用いた証明
\[\begin{aligned}\begin{aligned} (\tan x)’&= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)}-\frac{\sin x}{\cos x}}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h) \cos x-\cos (x+h) \sin x}{h \cos (x+h) \cos x}\\&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos (x+h) \cos x}\\&=1 \cdot \frac{1}{\cos x \cos x}\\&=\frac{1}{\cos ^{2} x} \end{aligned}\end{aligned}\]
【証明2】商の微分公式を用いた証明
\[\begin{aligned}(\tan x)’ &=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}\\&=\frac{(\sin x)^{\prime} \cos x-\sin x(\cos x)^{\prime}}{\cos ^{2} x}\\&=\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}\\&=\frac{1}{\cos ^{2} x}\end{aligned}\]
どちらでもできるようにしておくと良いでしょう！
\((e^x)’=e^x\)の証明
【証明】\(e\)の極限公式を用いた証明
以下では、
\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{e^h-1}{h}=1\]
を用いていきます。
記事を取得できませんでした。記事IDをご確認ください。
このとき
\[\begin{aligned}(e^x)’&=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\&=e^x\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{e^h-e}{h}\\&=e^x\cdot 1\\&=e^x\\\end{aligned}\]
\((a^x)’=a^x \log a\)の証明
これには主に二通りの方法があります。一つは微分の定義を用いるもので、もう一つは対数微分法を用いるものです。試験においては、後者の対数微分法を用いた方が楽かつ早いので、まずそれについても説明しています。対数微分法においては合成関数の微分公式を用いるので、それをすでに知っている人は見てみると良いでしょう。（リンクはこちら）
【証明】微分の定義を用いる
\(a^x\)の導関数について考えていきます。
\[\begin{aligned}(a^x)’&=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\&=a^x\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{a^h-1}{h}\\\end{aligned}\]
ここで、\(a^h=e^{\log a^h}\)であるから、上式は
\[a^{x} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\log a^{h}-1}-1}{\log a^{h}} \cdot \frac{\log a^{h}}{h}=a^{x} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\log a^{h}-1}-1}{\log a^{h}} \cdot \log a\]
と変形することができます。さらに
\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{e^h-1}{h}=1\]
を用いると、上式は
\[a^x\cdot 1\cdot \log a\]
となり、微分公式が導出できました。
\((\log |x|)’=\displaystyle\frac{1}{x}\)の証明
これも導関数の定義を用いていきましょう。
【証明】導関数の定義を用いる
\[\begin{aligned}(\log x)^{\prime} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\log (x+h)-\log (x)}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \log \frac{x+h}{x} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{h} \log \left(1+\frac{h}{x}\right) \end{aligned}\]
ここで、\(\displaystyle\frac{h}{x}=k\)とおくと、\(h\to 0\)のとき\(k\to 0\)だから
\[\begin{aligned}(\log x)^{\prime} &=\lim _{k \rightarrow 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{k} \log (1+k) \\ &=\frac{1}{x} \lim _{k \rightarrow 0} \log (1+k)^{\frac{1}{k}} \end{aligned}\]
ここで、\(e\)の定義\(e=\lim _{k \rightarrow 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}\)を用いると
\[\begin{aligned}(\log x)^{\prime} &=\frac{1}{x} \log e \\ &=\frac{1}{x} \end{aligned}\]
となり、公式が導出できました。
基本的には微分の定義を用いれば導出できるので、いつでもできるようにしておきましょう！
2. 合成関数の微分法
次に、合成関数の微分法について解説していきます。
2.1 公式
合成関数は以下のように微分されます。
一般系
\[f\bigl(g(x)\bigl)’=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)\]
具体形
\[\left[\{u(x)\}^{r}\right]^{\prime}=r\{u(x)\}^{r-1} u^{\prime}(x), \quad 特に(p x+q)^{r} \}^{\prime}=p r(p x+q)^{r-1}\]
2.2 計算例
計算例を挙げてみましょう。
【計算例】
・ \(\bigl(\sin (\cos x)\bigl)’=-\sin x \cos(\cos x)\)
・ \((\log 2x^2)’=\displaystyle\frac{4x}{2x^2}=\displaystyle\frac{2x}{x^2}\)
・ \((e^{\sin 2x} )’=2\cos 2x e^{\sin 2x}\)
合成関数の微分はミスも多く見受けられるので、多くの問題をこなし慣れることを最優先にしましょう！
2.3 証明
それでは証明です。ここでも微分の定義を用いて証明します。
【証明】微分の定義を用いる
\[\begin{aligned}\{f(g(x))\}^{\prime} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot g^{\prime}(x) \end{aligned}\]
ここで、\(g(x+h)-g(x)=i\)とおくと、\(h\to 0\)のとき\(i\to 0\)だから
\[\begin{aligned}\{f\bigl(g(x)\bigl)\}’ &=\lim _{i \rightarrow 0} \frac{f(g(x)+i)-f(g(x))}{i} \cdot g^{\prime}(x)\\&=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)\\\end{aligned}\]
となり、導出することができました。
3. 積・商の微分法
次に、積・商の微分法について説明します。これをマスターすれば、高校数学で出てくる関数をすべて微分することができます！
3.1 公式
まずは公式の紹介です。
積の微分法
\[\{f(x) g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)\]
商の微分法
具体形（\(g(x)=1\)のとき・逆数）
\[\left(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\right)’=-\displaystyle\frac{f'(x)} {\{f(x)\}^2}\]
一般系
\[\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}}\]
覚え方
二つの関数の関数の積の微分は、[片方微分]×[それ以外そのまま]の和、と捉えると良いと思います。これは三つ以上の関数の場合にも用いることができます！（計算例で確認しましょう）
商の微分に関しては、逆数の微分を覚えてしまって、商の微分の際に\(f(x)=1\)として検算するという方法もあります。
なんにせよ自分が覚えやすいやり方を見つけましょう！
3.2 計算例
実際に計算例を確認してみましょう。
【計算例】
・ \(\bigl(e^x(\sin x+\cos x)\bigl)’=e^x(\cos x-\sin x)+(e^x)'(\sin x+\ cos x)=2e^x \cos x\)
・ \(\left(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\right)’=-\displaystyle\frac{\cos x}{\sin^2 x}\)
・ \(\left(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\right)’=\displaystyle\frac{(\sin x)^{\prime} \cdot x-\sin x \cdot(x)^{\prime}}{x^{2}}=\displaystyle\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}\)
・ \(\begin{aligned}(xe^x \log x)’ &=(x)’e^x \log x+x(e^x)’ \log x+xe^x(\log x)’ \\&= e^x\log x+xe^x \log x+e^x\\\end{aligned}\)
3.3 証明
それでは証明です。まずは積の微分公式を導出します。もちろん導関数の定義を用います。
【積の微分公式証明】導関数の定義を用いて
導関数の定義より
\[\{f(x) g(x)\}^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x+h)-f(x) g(x)}{h}\]
このままだと分子が扱いづらいので式変形を加えます。
\[\begin{aligned}\{f(x) g(x)\}^{\prime}&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} f(x+h)+\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} g(x)\\\end{aligned}\]
ここで、\(f(x)\)は微分可能なので、\(f(x)\)は連続であり、
\[\lim _{h \rightarrow 0} f(x+h)=f(x)\]
となるから結局
\[\{f(x) g(x)\}^{\prime}=g^{\prime}(x) f(x)+f^{\prime}(x) g(x)\]
となり、公式が得られました。
同様に、商の微分公式についても考えていきましょう。具体形\(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\)⇒一般系\(\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}\)の順に証明していきます。
【証明】
【Ⅰ】 \(\left(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\right)^{\prime}=-\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^{2}}\)の証明
微分の定義より
\[\begin{aligned}\left\{\frac{1}{f(x)}\right\}^{\prime}&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x+h)}{h f(x) f(x+h)}\\&=\lim _{h \rightarrow 0}-\frac{1}{f(x) f(x+h)} \cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=-\frac{f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^{2}}\\\end{aligned}\]
となり逆関数の微分公式が得られました。
【Ⅱ】 \(\left\{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}}\)の証明
\(\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}\)を\(g(x)\)と\(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\)の積と見ます。そうすると先ほどの積の微分公式が使えて
\[\begin{aligned}\left\{\frac{g(x)}{f(x)}\right\}^{\prime}&=g^{\prime}(x) \frac{1}{f(x)}-g(x) \frac{f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^{2}}\\&=\frac{g^{\prime}(x) f(x)-f^{\prime}(x) g(x)}{\{f(x)\}^{2}}\\\end{aligned}\]
となり、商の微分公式の一般系が得られました。
4. 対数微分法
4.1 計算方法
さきほど、\(a^x\)の微分が\(a^x \log a\)だということとその証明を行いましたが、いかんせん覚えづらい公式です。また、導出も簡単ではありません。
そこで役立つのが「対数微分法」です。どんなものか確認しましょう。
\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \log a\]
【証明】対数微分法を用いる
① \(y=a^x\)の対数を取る
\[\log y=x\log a\]
②両辺を微分する
\[\displaystyle\frac{y’}{y}=\log a\]
③整理して代入する
\[y’=y\log a=a^x \log a\]
この簡単な手順を踏むだけで、導出することができました！試験中でも確実にできる手法だと思うので、頭に入れておくと良いでしょう。
高校数学の微分公式としては、上記のものをすべて覚えてしまえば十分です！お疲れ様でした！
\(x\)の関数\(y=f(x)\)を微分して得られる関数のことを導関数といい
\[y^{\prime}=\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} y=f^{\prime}(x)=\frac{d f(x)}{d x}=\frac{d}{d x} f(x)\]
などと記されます。