東大塾長の山田です。
このページでは、「放物線」について解説します。
今回は放物線の標準形の式から頂点・焦点・準線，媒介変数表示，接線の公式まですべて解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 放物線
まずは放物線の定義と方程式について解説していきます。
1.1 放物線の定義・焦点・準線
中学や数Ⅰでは，2次関数 \( y = ax^2 + bx + c \) のグラフが放物線を表すことは学習しましたが，放物線の定義は次のようになります。
1.2 放物線の方程式［標準形］
まずは放物線の方程式と性質をまとめます。
放物線 \( \color{red}{ y^2 = 4px } \)（\( p \neq 0 \)）［標準形］
- 頂点：原点 \( (0, \ 0) \)
- 焦点：\( (p, \ 0) \)
- 準線：\( x = -p \)
- 軸：\( x \) 軸（放物線は軸に関して対称）
上図のように，焦点 \( F(p, \ 0) \)，準線 \( l \) を \( x = -p \) とします。
放物線上の点を \( P(x, \ y) \) から \( l \) へ下ろした垂線を \( PH \) とすると，\( PF = PH \) であるから，
\( \displaystyle \sqrt{(x-p)^2 + y^2} = |x – (-p)| \)
両辺を2乗して
\( \displaystyle (x-p)^2 + y^2 = (x+p)^2 \)
\( ∴ \ \color{red}{ y^2 = 4px } \cdots ① \)
この①を，放物線の方程式の 標準形 といいます。
【例】
放物線 \( y^2 = x \) は
\( \displaystyle y^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} x \)
と変形できるから，
焦点は \( \displaystyle \left( \frac{1}{4}, \ 0 \right) \)，準線は \( \displaystyle x = \ – \frac{1}{4} \)
また，放物線の方程式 \( y^2 = 4px \) において，\( x \) と \( y \) を入れ替えて得られる方程式
\( \displaystyle \color{red}{ x^2 = 4py } \)
は，\( y \) 軸を軸とした，焦点 \( (0, \ p) \)，準線 \( y = -p \) とする放物線となります。
これは，数学Ⅰで学習する放物線 \( y = ax^2 \) と同様の形で，\( y^2 = 4px \) を直線 \( y = x \) に関して対称移動したものです。
放物線 \( y = ax^2 \) の焦点と準線は，
\( \displaystyle x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4a} \)
から，それぞれ
焦点：\( \displaystyle \left( 0, \ \frac{1}{4a} \right) \)，準線：\( \displaystyle y = – \frac{1}{4a} \)
となります。
2. 放物線の接線の方程式の公式
放物線 \( y^2 = 4px \) 上の点 \( x_1, \ y_1 \) における接線の方程式は
\( \displaystyle \color{red}{ y_1 y = 2p(x + x_1) } \)
なぜこのような式になるのか，示しておきます。
放物線と直線が接するということは，放物線と直線の連立方程式から \( x \) だけの2次方程式を導き，その方程式の判別式が \( D = 0 \) となればよいわけです。
これを利用して，接線の方程式を導きます。
【証明】
放物線 \( y^2 = 4px \cdots ① \) の，傾き \( m \) の接線の方程式を
\( y = mx + n \)（\( m \neq 0 \)）\( \cdots ② \)
とし，接点の座標を \( x_1, \ y_1 \) とする。
②を①に代入して，\( x \) について整理すると
\( \displaystyle m^2 x^2 + 2 ( mn – 2p ) x + n^2 = 0 \cdots ③ \)
②の直線が①の放物線に接する条件は，③の2次方程式の判別式 \( D \) が \( D = 0 \) のときであるから
\( \displaystyle \frac{D}{4} = (mn – 2p)^2 – m^2 n^2 = 0 \)
\( \displaystyle ∴ \ n = \frac{p}{m} \cdots ④ \)
このとき，③の解（重解）は
\( \displaystyle x_1 = \frac{-(mn – 2p)}{m^2} = \frac{p}{m^2} \)
これと④を、②に代入して
\( \displaystyle y_1 = mx_1 + n = \frac{p}{m} + \frac{p}{m} = \frac{2p}{m} \)
したがって，\( y_1 \neq 0 \) のとき
\( \displaystyle m = \frac{2p}{y_1}, \ n = \frac{y_1}{2} \)
これらを②に代入すると
\( \displaystyle y = \frac{2p}{y_1} x + \frac{y_1}{2} \)
\( \displaystyle ∴ \ y_1 y = 2px + \frac{{y_1}^2}{2} \)
また，\( \color{magenta}{ {y_1}^2 = 4px_1 } \) であるから
\( \displaystyle \color{red}{ y_1 y } = 2px + \frac{\color{magenta}{ 4px_1 }}{2} \color{red}{ = 2p(x + x_1) } \)
さらに，\( y_1 = 0 \) のとき \( x_1 = 0 \) であり，接線の方程式は \( x=0 \) となり，\( y_1 = 0 \) のときも成り立つ。
3. 放物線の媒介変数表示
放物線 \( y^2 = 4px \) の媒介変数表示は
\( \color{red}{ \begin{cases}
x = pt^2 \\
\\
y = 2pt
\end{cases} } \)
放物線 \( y^2 = 4px \) と，\( y \) 軸に平行な直線群 \( y = 2pt \) との交点を \( P(x, \ y) \) とすると，
\( \displaystyle (2pt)^2 = 4px \)
\( ∴ \ x = pt^2 \)
よって
\( \displaystyle \color{red}{ x = pt^2, \ y = 2pt } \)
ある曲線の式の \( x \) と \( y \) を，それぞれ変数 \( t \) の関数として表すことを 媒介変数表示（またはパラメータ表示）といいます。
また，\( t \) を 媒介変数（またはパラメータ）といいます。
以上が放物線の解説です！
「定点Fと，Fを通らない定直線 \( l \) からの距離が等しい点の軌跡」を 放物線 という。
また，点Fを 焦点，直線 \( l \) を 準線 ，焦点を通り準線に垂直な直線を 軸 といい，軸と放物線の交点を 頂点 という。