循環小数の表し方・分数に変換する方法

東大塾長の山田です。
このページでは、「循環小数の表し方・分数に変換する方法」について解説します。

「循環小数とは何なのか？どうやって表すのか？」についてしっかり解説しつつ、
具体的に問題を解きながら、「循環小数を分数に変換する方法」を、丁寧に分かりやすく解説しています。

「循環小数を分数に変換する方法」を手っ取り早く知りたい方は、「3. 循環小数を分数で表す方法」からご覧ください。

それでは、この記事を最後まで読んで、ぜひ循環小数の問題をマスターしてください！

1. 循環小数とは？

まずは、「循環小数とは何か？」について解説します。

循環小数とは、「いくつかの数字の配列が無限に繰り返される小数」のことです。

具体的には、次のような小数です。

\( 0.333333 \cdots \)は、小数点以下の「3」が無限に続いていますね。

\( 1.03030303 \cdots \)は、「03」というかたまりが、無限に続いています。

\( 0.148148148 \cdots \)は、「148」というかたまりが、無限に続いています。

このような小数が、循環小数です。

2. 循環小数の表し方

次は、循環小数の表し方について解説していきます。

循環小数は、循環する部分の最初と最後の数字の上に「・」をつけて表します。

循環している数字が1つの場合は、その数字の上に「・」をつけます。

先ほどの例の循環小数を表してみると、次のようになります。

以上が循環小数と、循環小数の表し方の解説です。

もう一度、循環小数の表し方をまとめておきます。

3. 循環小数を分数に変換する方法

ここからは、循環小数を分数に変換する方法を、問題を解きながら解説していきます。

3.1 例題①

まず、循環小数を\( x \)とします。

\[ x = 0.77777 \cdots \]

次に、小数部分を同じにするために、
ループ（循環）している桁数分だけずらしてあげます。

今回であれば1桁分、つまり\( x \)を10倍します。

\[ 10x = 7.77777 \cdots \]

すると、\( 10x \)と\( x \)の小数部分が、「（無限に続くが）“全く同じ”」になりますよね。

ということは、両辺をそれぞれ引き算をしてあげると、小数点以下がすべて消えるという、ナイスなことが起こります！

\[
\begin{align}
よって、9x & = 7 \\
\\
\Leftrightarrow \ \ x & = \frac{7}{9} \\
\\
∴0.\dot{7} & = \frac{7}{9}
\end{align}
\]

となり、循環小数を分数に変換することができました。

もう一度、解答をまとめておきます。

解答

3.2 例題②

まずは、例題①と同様に、循環小数を\( x \)とします。

\[ x = 0.272727 \cdots \]

今回は、ループ（循環）している部分が2桁分です。

なので、2桁分ずらしてあげるために、100倍（\( 10^2 \)倍）します。

\[ 100x = 27.272727 \cdots \]

小数部分が同じになったので、引き算をしてあげると、きれいになります。

\[
\begin{align}
よって、99x & = 27 \\
\\
\Leftrightarrow \ \ x & = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \\
\\
∴0.\dot{2}\dot{7} & = \frac{3}{11}
\end{align}
\]

今回のように、\( \displaystyle x = \frac{27}{99}\)となり、分数が約分できることがあるので、注意が必要です。

それでは、解答をまとめておきましょう。

解答

3.3 例題③

まずは、例のごとく、循環小数を\( x \)とします。

\[ x = 1.432432 \cdots \]

今回は、ループ（循環）している部分が3桁分です。

なので、3桁分ずらしてあげるために、1000倍（\( 10^3 \)倍）します。

\[ 1000x = 1432.432432 \cdots \]

小数部分が同じになったので、引き算をしてあげると、きれいになります。

\[
\begin{align}
よって、999x & = 1431 \\
\\
\Leftrightarrow \ \ x & = \frac{1431}{999} = \frac{53}{37} \\
\\
∴1.\dot{4}3\dot{2} & = \frac{53}{37}
\end{align}
\]

今回も約分ができましたね。
必ず注意をしておきましょう。

もう一度、解答をまとめておきます。

解答

4. 循環小数の表し方・分数に変換する方法まとめ

最後に、「循環小数の表し方」と、「循環小数を分数に変換する方法」をまとめておきます。

以上が、循環小数の表し方・分数に変換する方法の解説です。
しっかりと理解できましたか？

循環小数を分数に変換する方法は、やり方を理解すればとても単純です。
必ずマスターしておきましょう！