関数の連続性と微分可能性に関する知識まとめ

【例】

\(y=x,y=\cos x, y=2^x\)はすべて連続関数です。

定義域内での連続も考えてみましょう。

\(y=\displaystyle\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）や\(y=\tan x\)（\(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<x<\displaystyle\frac{\pi}{2}\)）も連続関数です。

【例】

以下のようなガウス記号を用いた関数を考えてみましょう。

\[y=[x]\]

この関数を図示すると下図のようになります。

このように、\(x\)が整数の時に関数が途切れてしまっているものは連続であるということができません。

【例】

\(y=|x|\)について考えてみましょう。

\(y=|x|\)は任意の点\(x=a\)のおいて連続ですが、任意の点で微分可能ということができません。

この関数は\(x=0\)において微分不可能です。

微分可能の定義の一つに、その点において接線の傾きが一通りに定まるというのがありましたね。今回の場合、\(x=0\)においては、下図のようにたくさんの接線が考えられてしまいます。

これは微分可能の定義に反します。ゆえに「連続である⇒微分可能」は任意の場合で成立しないことが分かりました。

【方針】

微分可能：\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} \displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)\)が存在
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連続：\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\)

【証明】

\(x=a\)において微分可能なら微分係数

\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

が存在します。このとき、

\[\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow a}\{f(x)-f(a)\}&=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot(x-a)\\&=f^{\prime}(a) \times 0\\&=0\end{aligned}\]

よって

\[\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\]

【解答】

【問１】

(1)　定石通り左側極限と右側極限を調べていきます。

\(x\to 1+0\)のとき、

\[(x-1)^3\to+0　より　\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{1}{(x-1)^{3}}=\infty\]

\(x\to 1-0\)のとき、

\[(x-1)^3\to-0　より　\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1-0} \frac{1}{(x-1)^{3}}=-\infty\]

このとき

\[\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{1}{(x-1)^{3}} ≠\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1-0} \frac{1}{(x-1)^{3}}\]

より、

\[\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{(x-1)^{3}}は存在しません\cdots【答】\]

補足：ちなみに\(y=\displaystyle\frac{1}{(x-1)^3}\)は下図のようになります。概形が分からずとも極限が求まることを意識しましょう。

(2)　同様に、片側極限を考えていきます。\(x=1\)における極限値を調べることに注意しましょう。

\(1≦x<\displaystyle\frac{3}{2}\)のとき

\[[2 x]=2, \quad[x]=1\qquad  ∴\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1+0}([2 x]-[x])=1\]

\(\displaystyle\frac{1}{2}≦x<1\)のとき

\[[2 x]=1, \quad[x]=0\qquad  ∴\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1-0}([2 x]-[x])=1\]

このとき、

\[\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1+0}([2 x]-[x])=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1-0}([2 x]-[x])=1\]

より、

\[\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1}([2 x]-[x])=1\cdots【答】\]

補足：先ほど同様グラフは下図のようになります。すぐにグラフを書ければ一目瞭然ですが、すぐに書くのは難しいです。

【問２】

まずは連続性のチェックです。（微分可能性がある⇒連続であるに着目）

\[\lim _{x \rightarrow 2-0} x^{2}=\lim _{x \rightarrow 2+0}\left(-x^{2}-a x+b\right)=f(2)\]

より

\[2a-b=-8\cdots①\]

次に、微分可能性のチェックです。

\[\begin{aligned}\lim _{h \rightarrow+0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}
&=\lim _{h \rightarrow+0} \frac{-(2+h)^{2}-a(2+h)+b-(-4-2a+b)}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow+0} \frac{-4 h-h^{2}-a h}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow+0}(-4-h-a)\\&=-4-a\\\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\lim _{h \rightarrow-0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}
&=\lim _{h \rightarrow-0} \frac{(2+h)^{2}-(-4-2a+b)}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow-0} \frac{4 h+h^{2}+8+2a-b}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow-0}(4+h)(∵①)\\&=4\\\end{aligned}\]

よって

\[-4-a=4\quad ∴a=-8\cdots②\]

①②より

\[b=-8\]

以上まとめて

\[(a,b)=(-8, -8)\cdots【答】\]