東大塾長の山田です。
このページでは、「運動量と力積の関係」について扱った後、「運動量保存則」に触れ、さらにそれらをフル活用する「衝突の問題」について詳しく説明しています。
ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 運動量と力積
まずは、運動量と力積についてしっかりと理解する必要があります。ここで理解してしまいましょう！
1.1 運動量とは？
運動量とは、運動の激しさを表す物理量のことで、以下のようにあらわすことができます。
このとき、運動量\(\vec{p}\)はベクトル量で、物体の運動量の向きと、速度の向きは同じになります。
1.2 力積と運動量変化の関係（証明もあり）
それでは力積について説明していきます。
力積とは文字通り、力の大きさと力が働く時間を掛け合わせたもので、物体の運動量をどれだけ変化させるかを表す量のことです。
力積と運動量変化の関係については以下のように表すことができます。
時刻 \( t_{1}\sim t_{2} \) の間に質量 \( m \) の質点に力が \( \vec{F} \) が掛かっていて、その間に質点の速度 \(\vec{v_1} \sim \vec{v_2} \) に変化したとき、質点の運動量と受けた力積の間には、
\( \displaystyle \color{red}{ m \vec{v_{2}} – m \vec{v_{1}} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt } \)
という関係が成り立つ。
この関係は暗記しておく必要がありますが、導出もしっかりと理解する必要があります。
上と同じで、時刻 \( t_{1}\sim t_{2} \) の間に質量\(m\)の質点に力が \(\vec{F}\) が掛かっていて、その間に質点の速度 \(\vec{v_1}\sim \vec{v_2}\) に変化したときの状況を考えます。
この時の運動方程式は
\( \displaystyle m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F} \)
この両辺を時間 \(t\) で、\(t=t_1\) から \(t=t_2\) まで積分すると
\( \displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}m\vec{v}dt=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt \)
となりこの左辺は
\( \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} m \vec{v} dt = \left[ m \vec{v} \right]_{t_{1}}^{t_2} = m \vec{v_2} – m \vec{v_1} \)
となりこれらをまとめて、運動量変化と力積の関係
\( \displaystyle m \vec{v_{2}} – m \vec{v_{1}} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt \)
が得られます！
1.3 力積と運動量変化の関係が意味すること
運動量変化と力積の関係から、どのようなことが分かるでしょうか？
\( \displaystyle m\vec{v_{2}}-m\vec{v_{1}}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}dt \)
以下では二点について解説します！
一点目は、この式により「運動変化の原因として力積が加えられる」⇒「運動量変化が起こる」という因果関係を見出すことができるということです。
これは、運動エネルギーと仕事の関係における、「仕事が加えられる」⇒「運動エネルギーが変化する」という因果関係に似ていると思いませんか？
\( \displaystyle \frac{1}{2}mv_{2}^2-\frac{1}{2}mv_{1}^2=\int_{x_1}^{x_2}F dx \)
二つの関係はどちらも運動方程式を積分することで導出されていますが、何について積分するかが異なっているのです。
上で示した通り、運動方程式を時間で積分すると力積と運動量変化の関係が得られますが、運動方程式を空間で積分すると（この場合においては\(x\)軸のような一次元空間）運動エネルギーと仕事の関係が得られます。
二つの関係式は形は異なりますが、出発点は同じであることに気づけるとより深い理解へと繋がると思います！
二点目は、この式により運動中の平均の力を求めることができるという点です。
\(t_2-t_1\) を \(\Delta t\)、この間の平均の力を \(\bar{F}\) とおくと、以下の関係が成り立ちます。
\( \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt=\bar{F}\Delta t \)
この式は以下の図で考えるとより理解しやすいかもしれません。
上の式は以下の図の考え方をそのまま式にしたものと捉えると、よりイメージがつきやすいと思います。
これを先ほどの力積と運動量変化の関係に代入して整理すると、以下の式を得ることができます。
\( \displaystyle \bar{F}=\frac{mv_2-mv_1}{\Delta t} \)
「平均の力を求めたい」
⇒「運動量変化と時間変化が分かればよい」
ただ公式を暗記するだけではなく、こういった物理的意味を考えてみることもとても大事です！ぜひ理解しておきましょう。
2. 複数物体の相互作用
運動量、力積についてしっかりと理解できたでしょうか？
このセクションでは運動量に関する重要な公式を扱います。しっかりと理解しましょう！
2.1 運動量保存則
まずは運動力保存則を以下に示します。
よく意味が分からない条件があっても次のセクションでしっかりと解説するので、まずは形を把握しましょう。
\(m_i\)を各物体の質量、\(\vec{v_i}\)を速度とする。外力の力積が無視できるとき（二物体が相互作用のみをしているとき）以下の関係が成り立つ。
\( \displaystyle m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}+\cdots=定数 \)
これは以下の式と同値である。つまり「下の式が成り立つ」⇔「運動量保存則が成立する」。
\( \displaystyle \frac{d}{dt}(m_1 v_1+m_2 v_2+\cdots)=0 \)
入試の場合、大抵は二物体の運動で用いられますが、複数物体を扱う問題で運動量保存則を用いることが多いので、一般系を示しました。
2.2 保存則はいつ使えばいいの？(保存則の成立条件)
運動量保存則はいつ使えばよいのでしょうか？
まずは上に書いた「外力の力積が無視できるとき（二物体が相互作用のみをしているとき）」というのがどんな状況なのかを考えましょう！
一般的な例として二物体の衝突が分かりやすいので今回はそれで説明します。
質量 \(m_1\) [kg]の物体1が右向きの速さ \(v_1\) [m/s]で、質量 \(m_2\) [kg]の物体2が右向きの速さ \(v_2\) [m/s]で運動しているとします（ただし\(v_1>v_2\)）。
この二物体が衝突する状況を考えます。
この衝突の際物体1から物体2には右向きに大きさ \(F\) の力が、物体2から物体1には左向きに同じ大きさ \(F\) の力がかかるとします。
同じ大きさの力がかかるのは作用・反作用の法則のためです。
この力が作用した時間を \(\Delta t\)、衝突後の物体1、物体2の右向きの速さをそれぞれ \(v_1’\)、\(v_2’\) とすると、力積と運動量変化の関係より
\( \displaystyle 物体１：m_1 v_1′-m_1 v_1=-F\Delta t \)
\( \displaystyle 物体２：m_2 v_2′-m_2 v_2=F\Delta t \)
が成り立ち、二式を足し合わせて整理すると
\( \displaystyle m_1 v_1+m_2 v_2=m_1 v_1’+m_2 v_2′ \)
となり、運動量保存則が成立することが分かります！
上の力積と運動量変化の関係の関係がすぐに出ない人は、基本に立ち返って運動方程式から考えてみましょう。
衝突時のそれぞれの運動方程式は、
\( \displaystyle 物体１：m_1 \frac{dv_1}{dt}=-F \)
\( \displaystyle 物体２：m_2 \frac{dv_2}{dt}=F \)
運動方程式の \(v_1\)、\(v_2\) は一定値ではなく、それぞれの任意の速度を意味しています（つまり図に書いてある \(v_1\)、\(v_2\) とは別物）。
この二式を足し合わせると
\( \displaystyle m_1 \frac{dv_1}{dt}+m_2\frac{dv_2}{dt}=0 \)
\( \displaystyle ∴ \ \frac{d}{dt}(m_1 v_1+m_2 v_2)=0 \)（運動量保存則の別の形）
\( \displaystyle ∴ \ m_1 v_1+m_2 v_2 = 一定 \)
\( \displaystyle ∴ \ m_1 v_1+m_2 v_2=m_1 v_1’+m_2 v_2′ \)
このようにして運動量保存則を導くことができます。
どちらも本質的には考え方なのでどちらもマスターできると良いでしょう。
上の二式を整理する場面で、力積 \(-F\Delta t\) と \(F\Delta t\) が打ち消しあいました。
これが外力の力積が無視できる、という意味です。
衝突の際に力は作用しましたが、二物体からなる系を考えた瞬間に、力が無視できるようになったということが大事です。
衝突以外にも外力を無視できる系は多くあり、たとえば、点電荷間のクーロン力による運動は、典型的な相互作用のみによる運動です。
以下の状況を考えてみましょう。物理量は図を参照してください。
このときのA、Bの運動方程式は
\( \displaystyle A:M\frac{dV}{dt}=+k\frac{Qq}{r^2}\)
\( \displaystyle B:m\frac{dv}{dt}=-k\frac{Qq}{r^2} \)
となり、二式を足し合わせると
\( \displaystyle \frac{d}{dt}(MV+mv)=0\quad∴MV+mv=一定 \)
となり、運動量保存則が成立します。
これで外力が無視できるという状況について理解が深まったのではないでしょうか？
似たような例として、ばねの運動、万有引力による運動なども考えられますね。
問題を解く際には以下のことを意識しましょう！
複数物体系のとき：「うまく外力が無視できるような系を見つける」⇒「運動量保存則が使える」
特に衝突・分離の問題：必ず運動量保存則を用いる
3. 衝突の問題
最後に運動量保存則が役立つ問題である衝突問題について扱います。
上で扱ったように、衝突を扱う問題の際は必ずといっていいほど、運動量保存則が用いられます。
どのように用いられるかしっかりと理解しましょう！
3.1 衝突とは？
身近に見られる衝突の例といえば、バットでボールを打った時やビリヤードの時のようにた球同士がぶつかる場合などが思い当たると思いますが、衝突の物理的な定義はどのようなものでしょうか？以下のようになります。
二物体の相互作用において、相互作用時間はかなり短いが、その間に大きな力が働くような場合を「衝突」という。
定義のイメージは身近な例を考えてもらえばなんとなく理解できると思います。
衝突におけるもう一つの大事な点は、「衝突の前後で運動量は変化しない」ということです。
これは一つ前のセクションの衝突における運動量保存則の証明をみれば、当たり前だなと思うことができますが、一点注意が必要です。
先ほど「運動量保存」⇔「外力が無視できる」と説明しましたが、衝突の場合は例外があります。
衝突の場合は相互作用がかなり大きくなるため、かりに重力など衝突以外の力が働いたとしても、それらの外力による力積は事実上無視できます。
つまり入試においては、いかなる外力が働いていたとしても、衝突の前後で運動量保存則が成立する、と考えてよいわけです！
3.2 弾性衝突と非弾性衝突
ここでは二種類の衝突について扱います。まずは以下の二種類がどのような衝突であるかを以下に示します。
反発係数を \(e\) とすると
弾性衝突：衝突の際に運動エネルギーが失われない衝突のこと。このときの \(e=1\)
非弾性衝突：衝突の際に運動エネルギーが失われる衝突のこと。このとき \(0≦e<1\) となる。特に \(e=0\) となるもの（衝突後一体とみなせる）を完全非弾性衝突という。
これが二つの衝突の大まかな違いです。
上で一つ新しい概念「反発係数」を導入しました。
反発係数について次で説明します！
3.3 反発係数とは
言葉でイメージするのならば、反発係数は「衝突後の運動をどれだけ弱くするか」を表す量であるといえます。
これを式を用いて表すと以下のようになります。
\( \displaystyle e=\frac{|衝突後の相対速度の接触面に垂直な成分|}{|衝突前の相対速度の接触面に垂直な成分|} \)
この定義を用いると、動いている二物体の場合、反発係数についてある関係が成り立つことがわかります。
以下の図のような状況を考えましょう。
このとき衝突前、衝突後の相対速度 \(v_2-v_1\)、\(V_2-V_1\) と反発係数 \(e\) の間に以下のような関係が成り立ちますね。
\( \displaystyle e = \frac{|衝突後の相対速度の接触面に垂直な成分|}{|衝突前の相対速度の接触面に垂直な成分|} \)
\( \displaystyle ∴ \ e = \frac{|V_2-V_1|}{|v_2-v_1|} \)
衝突運動が成立するためには、\(v_1>v_2\)、\(V_2>V_1\) が成立する必要があるので、結局反発係数は以下のように書き下すことができます。
\( \displaystyle e = \frac{V_2-V_1}{v_1-v_2} \)
これは暗記必須と書かれていることも多いですが、いかんせん間違えやすいです。
次のセクションで暗記せずとも、問題で使えるような理解の仕方を説明します！
3.4 絶対に間違えない反発係数の覚え方
上で説明したことが反発係数の意味ですが、入試で用いるには少々厄介な形をしています。
実際、分母分子を逆にしたり、符号を間違えてしまう人が多々見られます。
だからこそ、このセクションで正確に反発係数の公式を覚えて、入試で差を付けられるようにしましょう！
反発係数においては、以下のイメージを持っておくことがミスの軽減につながります。
「衝突後の(相対)速度」＝ ー「反発係数」×「衝突前の(相対)速度」
この式の意味は次のように理解すると覚えやすいと思います。
- 衝突前ある速度で運動している物体があるとする。
- 衝突することで、速度の大きさが「反発係数」×「衝突前の速度」になる。（どれだけ運動を弱くするか）
- 衝突することで、運動方向が逆になるので速度方向を逆にすればよい。
これは壁に衝突する物体の運動を考えるとイメージしやすいです。
もう一度、2物体の衝突の例を考えてみましょう。
この場合反発係数は \(e=\displaystyle \frac{V_2-V_1}{v_1-v_2}\) と表すことができましたが、これも、「衝突後の相対速度」＝ ー「反発係数」×「衝突前の相対速度」の考え方を用いると、
\( \displaystyle V_2-V_1=-e×(v_2-v_1) \)
\( \displaystyle ∴ \ e=\frac{V_2-V_1}{v_1-v_2} \)
とわけなく求めることができます。
教科書・参考書には分数の形で載っていることが多い公式ですが、反発係数の意味を考えることでミスがかなり減らせるのではないかと思います。
4. 総まとめの問題
最後に問題を解くことで公式の使い方を確認しましょう！
なめらかな平面上で、質量 \(m_1\) の物体1が、静止中の質量 \(m_2\) の物体2に速度\(v_1\)で衝突した。衝突後物体1と物体2はそれぞれ速度 \(V_1\) と \(V_2\) で運動した。
この衝突が弾性衝突であるとき、衝突後の二物体の速度 \(V_1\)、\(V_2\) は、どのように表すことができるだろうか。
以下２通りの解き方で解いてみよう。ただし速度は右向きを正とする。
【１】運動量保存則と反発係数の式を用いて解いてみよう。
【２】運動量と運動エネルギーが保存することを用いて解いてみよう。
考えてみましたか？以下が解答です。
【１】の解答
運動量保存則より
\( \displaystyle m _ { 1 } v _ { 1 } = m _ { 1 } V _ { 1 } + m _ { 2 } V _ { 2 } \cdots ① \)
反発係数の式より
\( \displaystyle V _ { 1 } – V _ { 2 }=- \left( v _ { 1 } – 0 \right) \cdots ② \)
ここまでが物理の問題であとは計算するのみです！
①②の連立方程式を解くと
\( \displaystyle \color{red}{ V _ { 1 } = \frac { m _ { 1 } – m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } v _ { 1 }\quad V _ { 2 } = \frac { 2 m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } v _ { 1 } \cdots【答】 } \)
【２】の解答
運動量保存則より
\( \displaystyle m _ { 1 } v _ { 1 } = m _ { 1 } V _ { 1 } + m _ { 2 } V _ { 2 } \cdots ① \)
弾性衝突なので運動エネルギーは保存されて（弾性衝突でなければ運動エネルギー保存則が使えないことに注意）
\( \displaystyle \frac{1}{2}m_1 v_1^2=\frac{1}{2}m_1 V_1^2+\frac{1}{2}m_2 V_2^2\cdots ③ \)
あとはこの連立方程式を解けばよいのですが、エネルギー保存則に二次の項が出てきているので計算が面倒くさそうですね。
ここで一つ式変形を加えましょう。
\( \displaystyle ① ⇔ m_2V_2=m_1(v_1-V_1)\cdots ①’ \)
\( \displaystyle ③ ⇔ m_2V_2^2=m_1(v_1^2-V_1^2)=m_1(v_1+V_1)(v_1-V_1)\cdots ③’ \)
\( \displaystyle \frac{③’}{①’} \) を計算すると
\( \displaystyle V_2=v_1+V_1\cdots②’ \)
（この式は反発係数の式と同値）
以上から①②’の連立方程式を解くと
\( \displaystyle \color{red}{ V _ { 1 } = \frac { m _ { 1 } – m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } v _ { 1 }\quad V _ { 2 } = \frac { 2 m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } v _ { 1 } \cdots【答】 } \)
二次の項をそのまま代入すると計算が大変になるので、もし計算中に出てきたら上のような式変形が使えないか確かめてみましょう！
皆さん解けたでしょうか？
今回の記事で学んだポイントがふんだんに盛り込まれた問題なので、分からないところがあったのなら、そのセクションをもう一度読んで解けるまで解き直してみましょう！
5. 今回のまとめ
今回学んだことをまとめておきます。先ほどの問題と合わせてしっかりと確認しておきましょう！
質量\(m\)[kg]の物体が、速度\(\vec{v}\)[m/s]で運動しているときの運動量\(\vec{p}\)：\(\vec{p}=m\vec{v}\)
力積と運動量変化の関係：\(m\vec{v_{2}}-m\vec{v_{1}}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}dt\)
運動量保存則：\(m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}+\cdots=定数\)
衝突と反発係数の関係：「衝突後の（相対）速度」＝ー「反発係数」×「衝突前の（相対）速度」
以上です。お疲れさまでした！
質量 \( m \) [kg]の物体が、速度 \( \vec{v} \) [m/s]で運動しているとき、この物体の持つ運動量 \( \vec{p} \) は
\( \color{red}{ \large \vec{p}=m\vec{v} } \)
と表すことができる。