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東大塾長の山田です。
このページでは、高校物理の「速度と加速度の公式」について、微分・積分を使いながら詳しく解説しています。
このページを読めば
- 位置・速度・加速度の関係を本質から理解できるので
- 公式を丸暗記しなくても簡単に覚えられ、
- いつでも自分で公式を導ける
ようになります。
「手っ取り早く公式を知りたい！」という方は、「3. 速度・加速度の公式まとめ」からご覧ください。
それではいきましょう！
目次
1. 位置・速度・加速度の関係
まずは、位置・速度・加速度の関係について解説していきます。
1.1 平均の速さとは？
物理では一般的に、位置を\( x \)、速度を\( v \)、加速度を\( a \)で表します。
時刻\( t_0 \)から\( t_{0}+\Delta{t} \)の間に、物体が位置\( x_0 \)から\( x_{0}+\Delta{x} \)まで移動したとき、
速さは \( v=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \)となります。
これが平均の速さを表しています。
「\( \Delta \)」とは、「微小な」という意味です。
「\( \Delta{t} \)」は、「微小時間」という意味になります。
1.2 瞬間の速さとは？
平均の速さの\( \Delta{t}→0 \)（\( \Delta{t} \)を限りなく0に近づける）とすると、
｛\( \Delta{t}→dt,\Delta{x}→dx \)（微小変化）｝
\( v=\frac{dx}{dt} \)ということになります。
これが瞬間の速さを表しています。
図を使って、もう一度解説をします。
1.3 平均の速さと瞬間の速さの図解
上の図のように、速さ（曲線）が刻々と変わっているとします。
ある時刻\( t_1 \)のときに、\( x_1 \)の位置にいます。
\( \Delta{t} \)秒だけたったとき（\( t_{1}+\Delta{t} \)[秒]）に、\( x_{1}+\Delta{x} \)という位置にいるとします。
このとき、\( \Delta{t} \)秒から\( (t_{1}+\Delta{t}) \)秒の、何秒間かの平均の速さは、
\[平均の速さ = \frac{(t_1+\Delta{t})-t_1}{(x_1+\Delta{x})-x_1} = \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \]
ということになります。
これを、上の図のように、\( \Delta{t}→0 \)としていくと、時刻\( t_1 \)という瞬間の、速さとなります。
式で表すと、
\[ \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} = v \]
となり、これが瞬間の速さとなります。
距離（\( x \)）を時間（\( t \)）で微分すると、速さ（\( v \)）になる。
\[ 速さ：v = \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} \]
逆に、速さ（\( v \)）を時間（\( t \)）で積分すると、距離（\( x \)）になります。
\[ v = \frac{dx}{dt} ⇔ x = \int v \,dt \]
速さ（\( v \)）を時間（\( t \)）で積分すると、距離（\( x \)）になる。
\[ 距離（変位）：x = \int v \,dt \]
次は加速度について、解説していきます。
1.4 加速度とは？
加速度\( a \)とは「速度の時間に対する変化の割合」のことです。
つまり、「速さがどれだけ早くなるか」ということです。
よって、\( a = \frac{dv}{dt} \)で計算することができます。
\( x=x(t) \)（←「位置\( x \)が時刻\( t \)のとき、この位置にいます」とわかるということ）
\[ v = \frac{dx}{dt} \]
\[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \]
また、逆に、\( a \)が分かると（\( a \)は定数だとして）、
加速度（\( a \)）を時間（\( t \)）で積分すると、速さ（\( v \)）になります。
\[ v = \int a \,dt = at+v_0 \]
（\( t=0 \)のとき\( v=v_0 \)だとする）
さらに、速さ（\( v \)）を時間（\( t \)）で積分すると、距離（\( x \)）になります。
\[
\begin{align}
x & = \int v \,dt \\
& = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align}
\]
（\( t=0 \)のとき\( x=x_0 \)だとする）
加速度\( a \)、速さ\( v \)、距離\( x \)、\( t=0 \)のとき\( v=v_0 \)、\( x=x_0 \)とするとき、
\[ 加速度：a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \]
\[ 速さ：v = \int a \,dt = at+v_0 \]
距離（変位）：
\[
\begin{align}
\ \ \ \ \ x & = \int v \,dt = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align}
\]
1.5 加速度の求め方具体例
例えば、上の図のように、1秒後のときの速さが3m/s、2秒後のときの速さが6m/sのとき、加速度\( a \)は、
\[
\begin{align}
加速度\ a & = \frac{dv}{dt}\\
\\
& = \frac{6-3[m/s]}{2-1[s]} = \frac{3[m/s]}{1[s]} \\
\\
& = 3[m/s^2]
\end{align}
\]
となります。
1.6 距離＝「\( v-t \)グラフ」の面積
次に、\( x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \)の右辺は、下の図の面積を表すことになります。
つまり、
\[
\begin{align}
x & = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \\
\\
& = \left[ \left( t=t_0 \right)から\left( t=t_1 \right)までの移動距離 \right]
\end{align}
\]
ということになります。
「\( v-t \)グラフ」の面積＝移動距離
\[ x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \]
2. 等加速度直線運動の公式まとめ
ここで、よく使う公式をまとめておきます。
時刻\( t=0 \)で、\( v=0 \)、\( x=0 \)、また、加速度は\( a \)（定数）であるとき、
\[ 速さ：v = \int a \, dt = at \ \ \cdots ①\]
距離（変位）：
\[ \ \ \ \ \ \ x = \int v \, dt = \frac{1}{2}at^2 \ \cdots ② \]
さらに、この運動が、
\[
\begin{cases}
t = t_{1}のとき、v=v_{1}、x=x_{1} \\
t = t_{2}のとき、v=v_{2}、x=x_{2}
\end{cases}
\]
となるとき、
\[
\begin{cases}
v_1=at_1 \\
v_2=at_2
\end{cases}
\]
\[
\left\{\
\begin{align}
x_1 = \frac{1}{2}a{t_1}^2 \\
x_2 = \frac{1}{2}a{t_2}^2
\end{align}
\right.
\]
より、以下の式が導くことができます。
\[
\begin{align}
∴{v_2}^{2}-{v_1}^{2} & = a^{2}{t_2}^{2}-a^{2}{t_1}^{2} \\
\\
& = 2x_{2}a-2x_{1}a \\
\\
& = 2a(x_{2}-x_{1})
\end{align}
\]
\[ {v_2}^{2}-{v_1}^{2} = 2a(x_{2}-x_{1}) \ \cdots ③\]
3. 速度・加速度の公式まとめ
最後にもう一度、速度・加速度のポイントと公式をまとめておきます。
- 距離（\( x \)）を時間（\( t \)）で微分すると、速さ（\( v \)）になる。
\[ 速さ：v = \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} \]
- 速さ（\( v \)）を時間（\( t \)）で積分すると、距離（\( x \)）になる。
\[ 距離（変位）：x = \int v \,dt \]
加速度\( a \)、速さ\( v \)、距離\( x \)、\( t=0 \)のとき\( v=v_0 \)、\( x=x_0 \)とするとき、
\[ 加速度：a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \]
\[ 速さ：v = \int a \,dt = at+v_0 \]
距離（変位）：
\[
\begin{align}
\ \ \ \ \ x & = \int v \,dt = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align}
\]
「\( v-t \)グラフ」の面積＝移動距離
\[ x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \]
時刻\( t=0 \)で、\( v=0 \)、\( x=0 \)、また、加速度は\( a \)（定数）であるとき、
\[ 速さ：v = \int a \, dt = at \]
\[ 距離（変位）：x = \int v \, dt = \frac{1}{2}at^2 \]
距離と速度の関係式：
\[ \ \ \ \ \ \ \ {v_2}^{2}-{v_1}^{2} = 2a(x_{2}-x_{1}) \]
以上が、速度・加速度の公式の解説です。
相加相乗平均の公式や使い方は理解できましたか？
ただの公式の丸暗記よりも、微分積分を用いることで直感的な理解が深まります。
実際に問題を解いていけば、今回解説した「微積物理」の威力を痛感できるはずです！
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