速度と加速度の公式まとめ(微分積分も説明)

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東大塾長の山田です。
このページでは、高校物理の「速度と加速度の公式」について、微分・積分を使いながら詳しく解説しています

このページを読めば

位置・速度・加速度の関係を本質から理解できるので
公式を丸暗記しなくても簡単に覚えられ
いつでも自分で公式を導ける

ようになります!

「手っ取り早く公式を知りたい!」という方は、「3. 速度・加速度の公式まとめ」からご覧ください。
それではいきましょう!

1. 位置・速度・加速度の関係

まずは、位置・速度・加速度の関係について解説していきます。

1.1 平均の速さとは?

物理では一般的に、位置を\( x \)、速度を\( v \)、加速度を\( a \)で表します。

時刻 \( t_0 \)から\( t_{0}+\Delta{t} \) の間に、物体が位置 \( x_0 \) から \( x_{0}+\Delta{x} \) まで移動したとき、

速さは \( \displaystyle v=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \) となります。

これが平均の速さを表しています。

補足

「\( \Delta \)(デルタ)」とは、「微小な」という意味です。
「\( \Delta{t} \)」は、「微小時間」という意味になります。

 

1.2 瞬間の速さとは?

平均の速さの\( \Delta{t}→0 \)(\( \Delta{t} \)を限りなく0に近づける)とすると,

{\( \Delta{t}→dt,\Delta{x}→dx \)(微小変化)}

\( \displaystyle v=\frac{dx}{dt} \) ということになります。

これが瞬間の速さを表しています。

 

次で,イメージしやすいように図を使ってもう一度解説をします。

1.3 平均の速さと瞬間の速さの図解

上の図のように、速さ(曲線)が刻々と変わっているとします。

ある時刻\( t_1 \)のときに、\( x_1 \)の位置にいます。
\( \Delta{t} \)秒だけたったとき(\( t_{1}+\Delta{t} \)[秒])に、\( x_{1}+\Delta{x} \) という位置にいるとします。

 

このとき、\( t_1 \) 秒から \( (t_{1}+\Delta{t}) \) 秒の、何秒間かの平均の速さは

\( \displaystyle 平均の速さ = \frac{(t_1+\Delta{t})-t_1}{(x_1+\Delta{x})-x_1} = \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \)

ということになります。

これを、下の図のように、\( \Delta{t}→0 \) としていくと、時刻 \( t_1 \) という瞬間の、速さとなります。

式で表すと、

\( \displaystyle \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} = v \)

となり、これが瞬間の速さとなります。

Point

距離(\( x \))を時間(\( t \))で微分すると、速さ(\( v \))になる

\( \displaystyle 速さ:v = \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} \)

 

逆に、速さ(\( v \))を時間(\( t \))で積分すると、距離(\( x \))になります。

\( \displaystyle v = \frac{dx}{dt} \ \Leftrightarrow \  x = \int v \,dt \)

Point

速さ(\( v \))を時間(\( t \))で積分すると、距離(\( x \))になる

\( \displaystyle 距離(変位):x = \int v \,dt \)

 

次は加速度について、解説していきます。

1.4 加速度とは?

加速度 \( a \) とは「速度の時間に対する変化の割合」のことです。

つまり、「速さがどれだけ早くなるか」ということです。

 

よって、\( \displaystyle a = \frac{dv}{dt} \) で計算することができます。

\( x=x(t) \)(←「位置\( x \)が時刻\( t \)のとき、この位置にいます」とわかるということ)

\( \displaystyle v = \frac{dx}{dt} \) より

\( \displaystyle a = \frac{dv}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \)

 

また、逆に、加速度 \( a \) が分かると(\( a \)は定数だとして)、加速度 \( a \) を時間 \( t \) で積分すると、速さ \( v \) になります。

\( \displaystyle v = \int a \,dt = at+v_0 \)

 (\( t=0 \) のとき \( v=v_0 \) だとする)

 

さらに、速さ \( v \) を時間 \( t \) で積分すると、距離 \( x \) になります。

\( \begin{align}
\displaystyle x & = \int v \,dt \\
& = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align} \)

(\( t=0 \) のとき \( x=x_0 \) だとする)

Point

加速度\( a \)、速さ\( v \)、距離\( x \)、\( t=0 \)のとき\( v=v_0 \)、\( x=x_0 \)とするとき、

\( \displaystyle 加速度:a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \)

\( \displaystyle 速さ:v = \int a \,dt = at+v_0 \)

\( \begin{align}
\displaystyle  距離(変位): x & = \int v \,dt = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align} \)

 

1.5 加速度の求め方具体例

例えば、上の図のように、1秒後のときの速さが3[m/s]、2秒後のときの速さが6[m/s]のとき、加速度 \( a \) は、

 

\( \begin{align}
\displaystyle 加速度\ a & = \frac{dv}{dt}\\
\\
& = \frac{6-3 \mathrm{ [m/s] }}{2-1 \mathrm{ [s] }} = \frac{3 \mathrm{ [m/s] }}{1 \mathrm{ [s] }} \\
\\
& = 3 \mathrm{ [m/s^2] }
\end{align} \)

となります。

 

1.6 距離=「\( v-t \)グラフ」の面積

次に、\( \displaystyle x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \) の右辺は、下の図の面積を表すことになります。

つまり、

\( \begin{align}
\displaystyle x & = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \\
\\
& = \left[ \left( t=t_0 \right)から\left( t=t_1 \right)までの移動距離 \right] \end{align} \)

ということになります。

Point

「\( v-t \)グラフ」の面積=移動距離

\( \displaystyle x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \)

 

2. 等加速度直線運動の公式まとめ

ここで、よく使う公式をまとめておきます。

等加速度運動の公式①・②

時刻 \( t=0 \) で、\( v=0 \)、\( x=0 \)、また加速度は \( a \)(定数)であるとき、

\( \displaystyle 速さ:v = \int a \, dt = at \ \cdots ①\)

\( \displaystyle 距離(変位):x = \int v \, dt = \frac{1}{2}at^2 \ \cdots ② \)

さらに、この運動が、

\( \begin{cases}
\displaystyle t = t_{1}のとき、v=v_{1}、x=x_{1} \\
\displaystyle t = t_{2}のとき、v=v_{2}、x=x_{2}
\end{cases} \)

となるとき、

\( \begin{cases}
v_1=at_1 \\
v_2=at_2
\end{cases} \)

\( 
\displaystyle \left\{
\begin{align}
x_1 = \frac{1}{2}a{t_1}^2 \\
x_2 = \frac{1}{2}a{t_2}^2
\end{align}
\right.
\)

より、以下の式が導くことができます。

\( \begin{align}
\displaystyle ∴ \ {v_2}^{2}-{v_1}^{2} & = a^{2}{t_2}^{2}-a^{2}{t_1}^{2} \\
\\
& = 2x_{2}a-2x_{1}a \\
\\
& = 2a(x_{2}-x_{1})
\end{align} \)

等加速度運動の公式③

\( \displaystyle {v_2}^{2}-{v_1}^{2} = 2a(x_{2}-x_{1}) \ \cdots ③\)

 

3. 速度・加速度の公式まとめ

最後にもう一度、速度・加速度のポイントと公式をまとめておきます。

Point!

  • 距離(\( x \))を時間(\( t \))で微分すると、速さ(\( v \))になる

\( \displaystyle 速さ:v = \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} \)

 

  • 速さ(\( v \))を時間(\( t \))で積分すると、距離(\( x \))になる

\( \displaystyle 距離(変位):x = \int v \,dt \)

Point!

加速度 \( a \)、速さ \( v \)、距離 \( x \)、\( t=0 \) のとき \( v=v_0 \)、\( x=x_0 \) とするとき、

\( \displaystyle 加速度:a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \)

\( \displaystyle 速さ:v = \int a \,dt = at+v_0 \)

\( \begin{align}
距離(変位): x & = \int v \,dt = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align} \)

Point!

「\( v-t \)グラフ」の面積=移動距離

\( \displaystyle x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \)

等加速度運動の公式

時刻 \( t=0 \) で、\( v=0 \)、\( x=0 \)、また、加速度は \( a \)(定数)であるとき、

\[ 速さ:v = \int a \, dt = at \]

\[ 距離(変位):x = \int v \, dt = \frac{1}{2}at^2 \]

  距離と速度の関係式:
\[ \ \ \ \ \ \ \ {v_2}^{2}-{v_1}^{2} = 2a(x_{2}-x_{1}) \]

以上が、速度・加速度の公式の解説です。
相加相乗平均の公式や使い方は理解できましたか?

ただの公式の丸暗記よりも、微分積分を用いることで直感的な理解が深まります。

実際に問題を解いていけば、今回解説した「微積物理」の威力を痛感できるはずです!

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