速度と加速度の公式まとめ(微分積分も説明)

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東大塾長の山田です。

 

このページでは、高校物理の「速度と加速度の公式」について、微分・積分を使いながら詳しく解説しています。

 

このページを読めば

  • 位置・速度・加速度の関係を本質から理解できるので
  • 公式を丸暗記しなくても簡単に覚えられ、
  • いつでも自分で公式を導ける

ようになります。

 

「手っ取り早く公式を知りたい!」という方は、「3. 速度・加速度の公式まとめ」からご覧ください。

 

それではいきましょう!

 

1. 位置・速度・加速度の関係

まずは、位置・速度・加速度の関係について解説していきます。

1.1 平均の速さとは?

物理では一般的に、位置を\( x \)、速度を\( v \)、加速度を\( a \)で表します。

 

時刻\( t_0 \)から\( t_{0}+\Delta{t} \)の間に、物体が位置\( x_0 \)から\( x_{0}+\Delta{x} \)まで移動したとき、

速さは \( v=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \)となります。

これが平均の速さを表しています。

 

補足

「\( \Delta \)」とは、「微小な」という意味です。

「\( \Delta{t} \)」は、「微小時間」という意味になります。

 

1.2 瞬間の速さとは?

平均の速さの\( \Delta{t}→0 \)(\( \Delta{t} \)を限りなく0に近づける)とすると、

{\( \Delta{t}→dt,\Delta{x}→dx \)(微小変化)}

\( v=\frac{dx}{dt} \)ということになります。

これが瞬間の速さを表しています。

 

図を使って、もう一度解説をします。

 

1.3 平均の速さと瞬間の速さの図解

上の図のように、速さ(曲線)が刻々と変わっているとします。

 

ある時刻\( t_1 \)のときに、\( x_1 \)の位置にいます。

\( \Delta{t} \)秒だけたったとき(\( t_{1}+\Delta{t} \)[秒])に、\( x_{1}+\Delta{x} \)という位置にいるとします。

 

このとき、\( \Delta{t} \)秒から\( (t_{1}+\Delta{t}) \)秒の、何秒間かの平均の速さは、

\[平均の速さ = \frac{(t_1+\Delta{t})-t_1}{(x_1+\Delta{x})-x_1} = \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \]

ということになります。

 

これを、上の図のように、\( \Delta{t}→0 \)としていくと、時刻\( t_1 \)という瞬間の、速さとなります。

 

式で表すと、

\[ \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} = v \]

となり、これが瞬間の速さとなります。

 

Point!

距離(\( x \))を時間(\( t \))で微分すると、速さ(\( v \))になる

\[ 速さ:v = \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} \]

 

逆に、速さ(\( v \))を時間(\( t \))で積分すると、距離(\( x \))になります。

\[ v = \frac{dx}{dt} ⇔ x = \int v \,dt \]

 

Point!

速さ(\( v \))を時間(\( t \))で積分すると、距離(\( x \))になる

\[ 距離(変位):x = \int v \,dt \]

 

次は加速度について、解説していきます。

 

1.4 加速度とは?

加速度\( a \)とは「速度の時間に対する変化の割合」のことです。

つまり、「速さがどれだけ早くなるか」ということです。

 

よって、\( a = \frac{dv}{dt} \)で計算することができます。

 

\( x=x(t) \)(←「位置\( x \)が時刻\( t \)のとき、この位置にいます」とわかるということ)

\[ v = \frac{dx}{dt} \]

\[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \]

 

また、逆に、\( a \)が分かると(\( a \)は定数だとして)、
加速度(\( a \))を時間(\( t \))で積分すると、速さ(\( v \))になります。

 

\[ v = \int a \,dt = at+v_0 \]

 (\( t=0 \)のとき\( v=v_0 \)だとする)

 

さらに、速さ(\( v \))を時間(\( t \))で積分すると、距離(\( x \))になります。

 

\[
\begin{align}
x & = \int v \,dt \\
& = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align}
\]

 (\( t=0 \)のとき\( x=x_0 \)だとする)

 

Point!

加速度\( a \)、速さ\( v \)、距離\( x \)、\( t=0 \)のとき\( v=v_0 \)、\( x=x_0 \)とするとき、

\[ 加速度:a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \]

\[ 速さ:v = \int a \,dt = at+v_0 \]

  距離(変位):
\[
\begin{align}
\ \ \ \ \ x & = \int v \,dt = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align}
\]

 

1.5 加速度の求め方具体例

例えば、上の図のように、1秒後のときの速さが3m/s、2秒後のときの速さが6m/sのとき、加速度\( a \)は、

 

\[
\begin{align}
加速度\ a & = \frac{dv}{dt}\\
\\
& = \frac{6-3[m/s]}{2-1[s]} = \frac{3[m/s]}{1[s]} \\
\\
& = 3[m/s^2] \end{align}
\]

となります。

 

1.6 距離=「\( v-t \)グラフ」の面積

次に、\( x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \)の右辺は、下の図の面積を表すことになります。

つまり、

\[
\begin{align}
x & = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \\
\\
& = \left[ \left( t=t_0 \right)から\left( t=t_1 \right)までの移動距離 \right] \end{align}
\]

ということになります。

 

Point!

「\( v-t \)グラフ」の面積=移動距離

\[ x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \]

 

2. 等加速度直線運動の公式まとめ

ここで、よく使う公式をまとめておきます。

等加速度運動の公式①・②

時刻\( t=0 \)で、\( v=0 \)、\( x=0 \)、また、加速度は\( a \)(定数)であるとき、

\[ 速さ:v = \int a \, dt = at \ \ \cdots ①\]

  距離(変位):
\[ \ \ \ \ \ \ x = \int v \, dt = \frac{1}{2}at^2 \ \cdots ② \]

さらに、この運動が、

\[
\begin{cases}
t = t_{1}のとき、v=v_{1}、x=x_{1} \\
t = t_{2}のとき、v=v_{2}、x=x_{2}
\end{cases}
\]

となるとき、

\[
\begin{cases}
v_1=at_1 \\
v_2=at_2
\end{cases}
\]

\[
\left\{\
\begin{align}
x_1 = \frac{1}{2}a{t_1}^2 \\
x_2 = \frac{1}{2}a{t_2}^2
\end{align}
\right.
\]

より、以下の式が導くことができます。

\[
\begin{align}
∴{v_2}^{2}-{v_1}^{2} & = a^{2}{t_2}^{2}-a^{2}{t_1}^{2} \\
\\
& = 2x_{2}a-2x_{1}a \\
\\
& = 2a(x_{2}-x_{1})
\end{align}
\]

等加速度運動の公式③

\[ {v_2}^{2}-{v_1}^{2} = 2a(x_{2}-x_{1}) \ \cdots ③\]

 

3. 速度・加速度の公式まとめ

最後にもう一度、速度・加速度のポイントと公式をまとめておきます。

Point!

  • 距離(\( x \))を時間(\( t \))で微分すると、速さ(\( v \))になる

\[ 速さ:v = \lim_{\Delta{t} \to 0} \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{dx}{dt} \]

 

  • 速さ(\( v \))を時間(\( t \))で積分すると、距離(\( x \))になる

\[ 距離(変位):x = \int v \,dt \]

Point!

加速度\( a \)、速さ\( v \)、距離\( x \)、\( t=0 \)のとき\( v=v_0 \)、\( x=x_0 \)とするとき、

\[ 加速度:a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \]

\[ 速さ:v = \int a \,dt = at+v_0 \]

  距離(変位):
\[
\begin{align}
\ \ \ \ \ x & = \int v \,dt = \int (at+v_0) \,dt \\
& = \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0
\end{align}
\]

Point!

「\( v-t \)グラフ」の面積=移動距離

\[ x = \int_{t_0}^{t_1} v \, dt \]

等加速度運動の公式

時刻\( t=0 \)で、\( v=0 \)、\( x=0 \)、また、加速度は\( a \)(定数)であるとき、

\[ 速さ:v = \int a \, dt = at \]

\[ 距離(変位):x = \int v \, dt = \frac{1}{2}at^2 \]

  距離と速度の関係式:
\[ \ \ \ \ \ \ \ {v_2}^{2}-{v_1}^{2} = 2a(x_{2}-x_{1}) \]

以上が、速度・加速度の公式の解説です。
相加相乗平均の公式や使い方は理解できましたか?

ただの公式の丸暗記よりも、微分積分を用いることで直感的な理解が深まります。

実際に問題を解いていけば、今回解説した「微積物理」の威力を痛感できるはずです!

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