約数の個数の求め方を超わかりやすく説明してみた

東大塾長の山田です。
このページでは、「約数の個数の求め方」について解説します。

約数の求め方は、公式を覚えて理解してしまえば簡単に求めることができます。
また、さいごには約数の個数を求める練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで「約数の個数の求め方」をマスターしてください！

1. 約数の個数の求め方（公式）

さっそく「約数の個数の求め方の公式」を解説します。

2. 約数の個数の求め方の公式の解説（証明）

それでは、なぜ約数の個数が上記のような式になるのか？解説していきます。

例えば、200の約数の個数が何個あるか考えてみます。

200を素因数分解すると　\( \displaystyle \large{ \color{red}{ 200 = 2^3 \cdot 5^2 } } \)

つまり，200は素因数2を3個，素因数5を2個もつ数といえます。

よって，200の正の約数は素因数2を3個以下，素因数5を2個以下もつ数なので，

• 素因数2の掛け方は，「\( 2^0 \)」「\( 2^1 \)」「\( 2^2 \)」「\( 2^3 \)」の4通り
• 素因数5の掛け方は，「\( 5^0 \)」「\( 5^1 \)」「\( 5^2 \)」の3通り

これらの組み合わせの数を考えると

　\( \large{ 4 \cdot 3 = 12 } \)通り

したがって、\( 200 (=2^3 \cdot 5^2) \)　の約数の個数は12個と計算で求めることができます。

同様に、自然数 \( N \) を素因数分解した結果が \( \color{red}{ N = p^a q^b r^c \cdot \cdots } \) であるならば、

\( N \) の正の約数は素因数 \( p \) を \( a \) 個以下、\( q \) を \( b \) 個以下、\( r \) を \( c \) 個以下、\( \cdots \)もつ数なので、

• 素因数 \( p \) の掛け方は，「\( p^0 \)」「\( p^1 \)」「\( p^2 \)」\( \cdots \)「\( p^a \)」の \( a+1 \) 通り
• 素因数 \( q \) の掛け方は，「\( q^0 \)」「\( q^1 \)」「\( q^2 \)」\( \cdots \)「\( q^b \)」の \( b+1 \) 通り
• 素因数 \( r \) の掛け方は，「\( r^0 \)」「\( r^1 \)」「\( r^2 \)」\( \cdots \)「\( r^c \)」の \( c+1 \) 通り
• \( \cdots \cdots \)

これらの組み合わせの数を考えると

　\( (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) \cdot \cdots \)通り

したがって、\( N = p^a q^b r^c \) の約数の個数は \( (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) \cdot \cdots \)（個） と計算で求めることができます。

3. 約数の個数を求める問題

それでは、具体的に約数の個数を求める問題を具体的に解いてみましょう！

【解答】

まずは\( 756 \)を素因数分解します。

\( \displaystyle \large{ 756 = 2^\color{red}{ 2 } \cdot 3^\color{red}{ 3 } \cdot 7^\color{red}{ 1 } } \)

（ふつう「1乗」は書きませんが、わかりやすくするために表記）

そうしたら、約数の個数は【[各素因数の指数]\( +1 \)】の積になるので

\( \begin{align}
& (\color{red}{ 2 }+1) \cdot (\color{red}{ 3 }+1) \cdot (\color{red}{ 1 }+1) \\
\\
= & 3 \cdot 4 \cdot 2 \\
\\
= & \color{red}{ 24 (個) \cdots 【答】}
\end{align} \)

4. 約数の個数の求め方まとめ

約数の個数の求め方は理解できてきましたか？
わかればめちゃめちゃ簡単です！

約数の個数を求めさせる問題は、センター試験でも出題されることもある重要な問題です。

必ずマスターしておきましょうね！