多項定理まとめ（公式・証明・問題例）

東大塾長の山田です。
このページでは、「多項定理」について解説します。

今回は多項定理の公式の意味（原理）から、例題で多項定理を利用する問題で頻出の「係数を求める問題」まで、超わかりやすく解説していきます！
ぜひ最後まで読んで、勉強の参考にしてください！

1. 多項定理とは？（公式）

それではさっそく多項定理の公式について解説していきます。

多項定理（3項の場合）

\( (a+b+c)^n \)の展開式の一般項は

\[ \color{red}{ \large{ \frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r } } \]

（ただし，\( p+q+r=n \)，\( p≧0 \)，\( q≧0 \)，\( r≧0 \)）

多項定理は二項定理の拡張なので、原理は同じです。

\( (a+b+c)^n = \underbrace{(a+b+c) (a+b+c) \cdots \cdots (a+b+c)}_{n個} \)

\( a^p b^q c^r \)の項の数は、\( n \)個の(　　)のうちから、\( a \)を\( p \)個，\( b \)を\( q \)個，\( c \)を\( r \)個選ぶ順列の総数なので、\( a^p b^q c^r \)の項の係数は\( \displaystyle \color{red}{ \frac{n!}{p!q!r!} } \)となります。

二項定理を忘れてしまった人、二項定理の考え方が曖昧な人は「二項定理を超わかりやすく解説（公式・証明・係数・問題）」の記事で詳しく解説しているので、ぜひ参考にしてください。

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ちなみに、多項定理は項がいくつあっても成り立ちます。

多項定理

\( (x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n \)の展開式における\( x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m} \)の係数は

\[ \color{red}{ \large{ \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!} } } \]

（ただし，\( k_1, k_2, \cdots , k_m≧0 \)，\( k_1+k_2+ \cdots +k_m=n \)）

公式の考え方は3項のときと同様です。

2. 多項定理の証明（二項定理を用いる方法）

すでに解説したのが多項定理の証明の1つですが、ここでは二項定理を用いた証明方法を紹介します。

\( (a+b+c)^n \)の展開式における \( a^p b^q c^r \) の項の係数について考えていきます。

証明

\( \displaystyle (a+b+c)^n = \{ (a+b)+c \}^n \)として、二項定理より一般項は \( \displaystyle {}_n \mathrm{C}_r (a+b)^{n-r} c^r \)

また、二項定理より\( (a+b)^{n-r} \)の一般項は \( \displaystyle {}_{n-r} \mathrm{C}_q a^{n-r-q} b^q \)

したがって、\( n-r-q=p \)とおくと、\( a^p b^q c^r \)の項の係数は

　\( \begin{align}
& {}_n \mathrm{C}_r \times {}_{n-r} \mathrm{C}_q \\
& = \frac{n!}{r!(n-r)!} \cdot \frac{(n-r)!}{q!(n-r-q)!} \\
& = \frac{n!}{ (n-r-q)!q!r!} \\
& = \large{ \color{red}{ \frac{n!}{ p!q!r!} } }
\end{align} \)

二項定理の計算を使うと、このように証明ができます。

3. 多項定理の使い方（係数を求める問題）

それでは、多項定理を利用する問題をやってみましょう。

3.1 例題1

例題1

\( (x+2y+3z)^5 \)の展開式における \( x^2y^2z \) の係数を求めよ。

【解答】

\( (x+2y+3z)^5 \)の展開式の一般項は

　\( \displaystyle \color{red}{ \frac{5!}{p!q!r!} x^p (2y)^q (3z)^r } \\
\displaystyle = \left(\frac{5!}{p!q!r!} \cdot 2^q \cdot 3^r \right) x^p y^q z^r \)

\( x^2y^2z \) の項の係数は、\( p=2, \ q=2, \ r=1 \) のときだから、

　\( \displaystyle \frac{5!}{2!2!1!} \cdot 2^2 \cdot 3^1 = \color{red}{ 360 \ \cdots 【答】 } \)

多項定理の使い方はわかってきましたか？
次は少しステップアップした問題をやってみましょう。

3.2 例題2

例題2

\( (1-2x+x^2)^{10} \)の展開式における \( x^3 \) の係数を求めよ。

\( (1-2x+x^2)^{10} \)の一般項は

　\( \displaystyle \color{red}{ \frac{10!}{p!q!r!} 1^p (-2x)^q (x^2)^r } \\
\\
\displaystyle = \left(\frac{10!}{p!q!r!} \cdot (-2)^q \right) x^{q+2r} \)

\( x^3 \) の項は \( q+2r=3 \) となるときなので、
　\( (q, \ r) = (1, \ 1), \ (3, \ 0) \)

\( p+q+r=10 \) なので、それぞれのときの\( p \)の値も含めて考えると、
　\( (p, \ q, \ r) = (8, \ 1, \ 1), \ (7, \ 3, \ 0) \)

よって、\( x^3 \) の係数は

　\( \begin{align}
& \frac{10!}{8!1!1!} \cdot (-2)^1 + \frac{10!}{7!3!0!} \cdot (-2)^3 \\
\\
& = -180 \ – 960 \\
\\
& = \color{red}{ -1140 \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)

今回の例題2ように、求める項（今回は\( x^3 \)）になる組み合わせが複数ある場合は、注意をしましょう！