3乗の因数分解（展開）公式

東大塾長の山田です。
このページでは、「3次式の因数分解・展開の公式」について解説します。

復習も兼ねて、大学入試で覚えておくべき因数分解・展開公式もすべてまとめたので、勉強の参考にしてください！

1. 3次式の因数分解・展開の公式まとめ

それでは、さっそく大学入試で必要な3次式の因数分解・展開の公式をまとめておきます。

3次式の因数分解・展開の公式

\( \color{red}{ \begin{cases}
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \\
\\
a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\end{cases} } \)

\( \color{red}{ \begin{cases}
a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 \\
\\
a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = (a-b)^3
\end{cases} } \)

教科書では公式として扱われていませんが、次の式も大学入試では頻出なので、覚えておきましょう。

\( \color{red}{ \begin{align}
& a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\
= & (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)
\end{align} } \)

1，2番目の立方の和・差の公式は符号を間違えないように注意しましょう。

2. 2次式の因数分解・展開の公式まとめ（復習）

復習として、中学や数学Ⅰで学習する2次式の因数分解・展開の公式もまとめておきます。

2次式の因数分解の公式

\( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \)
\( a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 \)
\( a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \)
\( \begin{align}
x^2+(a+b)x+ab \\
= (x+a)(x+b)
\end{align} \)
\( \begin{align}
acx^2+(ad+bc)x+bd \\
= (ax+b)(cx+d)
\end{align} \)

たすきがけや、因数分解の解き方の手順については、「たすきがけの因数分解のやり方【問題付き】」の記事で詳しく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください。

関連記事たすきがけの因数分解のやり方【問題付き】

3. 3次式の因数分解の例

例題

次の式を因数分解せよ。
　(1) \( x^3 + 64 \)
　(2) \( 27a^3 – 125b^3 \)
　(3) \( x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \)
　(4) \( 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \)
　(5) \( x^3 – y^3 – z^3 – 3xyz \)

【解答】

(1) \( x^3 + 64 \)

\( \begin{align}
x^3 + 64 & = x^3 + 4^3 \\
\\
& = (x+4) (x^2 – x \cdot 4 + 4^2) \\
\\
& = \color{red}{ (x+4) (x^2 – 4x + 16) \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)

(2) \( 27a^3 – 125b^3 \)

\( \begin{align}
\ & = (3a)^3 – (5b)^3 \\
\\
\ & = (3a – 5b) \{ (3a)^2 + 3a \cdot 5b + (5b)^2 \} \\
\\
\ & = \color{red}{ (3a-5b) (9a^2 + 15ab + 25b^2) \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)

(3) \( x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \)

\( \begin{align}
\ & = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 \\
\\
\ & = \color{red}{ (x+3)^3 \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)

(4) \( 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \)

\( \begin{align}
\ & = (2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 – 1^3 \\
\\
\ & = \color{red}{ (2x-1)^3 \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)

(5) \( x^3 – y^3 – z^3 – 3xyz \)

\( \begin{align}
\ & = x^3 + (-y)^3 + (-z)^3 – 3x(-y)(-z) \\
\\
\ & = \color{red}{ (x-y-z) (x^2 + y^2 + z^2 + xy – yz + zx) \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)

3次式の因数分解の公式の使い方は理解できましたか？

因数分解は数学の計算の基盤となるので、公式はすべて暗記して、使いこなせるようにしましょう！