東大塾長の山田です。
このページでは、「解と係数の関係」について解説します。
今回は「2次方程式の解と係数の関係」の公式と証明に加え、「3次方程式の解と係数の関係」の公式と証明も、超わかりやすく解説していきます。
ぜひ最後まで読んで、勉強の参考にしてください！
1. 2次方程式の解と係数の関係
それではさっそく、2次方程式の解と係数の関係から解説していきます。
1.1 2次方程式の解と係数の関係
2次方程式の解と係数の間には、次の関係が成り立ちます。
2次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) の2つの解を \( \alpha, \ \ \beta \) とすると
\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \ \alpha \beta = \frac{c}{a} } } \)
1.2 2次方程式の解と係数の関係の証明
2次方程式の解と係数の関係の証明は、「解の公式」を使って、あるいは「因数定理＋係数比較」の2通りで証明をすることができます。
まずは「解の公式」を使った証明です。
【証明①】（解の公式）
2次方程式
\( ax^2+bx+c=0 \)
の2つの解を \( \alpha, \ \beta \) とし，\( D=b^2 -4ac \) とする。
解の公式より，方程式の2つの解は
\( \displaystyle \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}, \ \ \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \)
だから
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \alpha + \beta } & = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\
\\
& = \frac{-2b}{2a} \\
\\
& = \color{red}{ -\frac{b}{a} }
\end{align} \)
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \alpha \beta } & = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\
\\
& = \frac{4ac}{4a^2} \\
\\
& = \color{red}{ \frac{c}{a} }
\end{align} \)
次は「因数定理＋係数比較」を使った証明方法です。
【証明②】（因数定理+係数比較）
2次方程式
\( ax^2+bx+c=0 \)
が2つの解を \( \alpha, \ \beta \) をもつとき，因数定理より
\( \displaystyle ax^2+bx+c= a (x- \alpha) (x- \beta) \ \cdots ① \)
が成り立つ。
①の両辺を \( a \ (a \neq 0) \) で割ると
\( \displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x- \alpha) (x- \beta) \ \cdots ② \)
②の右辺を展開して整理すると
\( \displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha \beta\ \cdots ③ \)
③の両辺の係数を比較すると
\( \color{red}{ \displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \ \ \alpha \beta = \frac{c}{a} } \)
2. 3次方程式の解と係数の関係
続いて、3次方程式の解と係数の関係の解説です。
2.1 3次方程式の解と係数の関係
3次方程式の解と係数の間には、次の関係が成り立ちます。
3次方程式 \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \) の3つの解を \( \alpha, \ \beta, \ \gamma \) とすると
\( \large{ \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle & ・ \ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \\
\\
& ・ \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \\
\\
& ・ \ \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}
\end{align} } } \)
2.2 3次方程式の解と係数の関係の証明
3次方程式の解と係数の関係の証明は、「因数定理＋係数比較」で証明をすることができます。
【証明】
3次方程式
\( ax^3+bx^2+cx+d=0 \)
が3つの解を \( \alpha, \ \beta, \ \gamma \) をもつとき，因数定理より
\( ax^3+bx^2+cx+d \\
= a (x- \alpha) (x- \beta) (x- \gamma) \ \cdots ① \)
が成り立つ。
①の両辺を \( a \ (a \neq 0) \) で割ると
\( \displaystyle x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} \\
= (x- \alpha) (x- \beta) (x- \gamma) \ \cdots ② \)
②の右辺を展開して整理すると
\( \displaystyle x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} \\
= x^3 – (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x – \alpha \beta \gamma \ \cdots ③ \)
③の両辺の係数を比較すると
\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle & ・ \ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \\
\\
& ・ \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \\
\\
& ・ \ \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}
\end{align} } \)
3. 解と係数の関係の練習問題（対称式）
それでは、解と係数の関係を使った問題に挑戦してみましょう。
解と係数の関係を使う典型問題として、対称式の問題があります。
2次方程式 \( 2x^2 – 4x + 5 = 0 \) の2つの解を \( \alpha, \ \beta \) とするとき，次の式の値を求めよ。
(1) \( \alpha^2 + \beta^2 \)
(2) \( \alpha^3 + \beta^3 \)
【解答】
解と係数の関係より
\( \displaystyle \alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2, \ \ \alpha \beta = \frac{5}{2} \)
基本対称式の値がわかったので、求める対称式を基本対称式で表し、計算していけばよいです。
\( \begin{align}
\displaystyle \alpha^2 + \beta^2 & = (\alpha + \beta)^2 – 2 \alpha \beta \\
\\
\displaystyle & = 2^2 – 2 \cdot \frac{5}{2} \\
\\
& = 4 – 5 \\
\\
& = \color{red}{ -1 \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)
\( \begin{align}
\displaystyle \alpha^3 + \beta^3 & = (\alpha + \beta)^3 – 3 \alpha \beta (\alpha + \beta) \\
\\
\displaystyle & = 2^3 – 3 \cdot \frac{5}{2} \cdot 2 \\
\\
& = 8 – 15 \\
\\
& = \color{red}{ -7 \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)
対称式の詳しい解説や、覚えるべき対称式の変形は「対称式の基本と因数分解など全問題」の記事で詳しく解説しています。
対称式についての知識が曖昧な人はぜひ参考にしてください。
4. 解と係数の関係まとめ
さいごにもう一度、今回のまとめをします。
- 2次方程式の解と係数の関係\( \cdots \)2次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) の2つの解を \( \alpha, \ \beta \) とすると
\( \displaystyle \color{red}{ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \ \ \alpha \beta = \frac{c}{a} } \) - 3次方程式の解と係数の関係\( \cdots \)3次方程式 \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \) の3つの解を \( \alpha, \ \beta, \ \gamma \) とすると
\( \color{red}{ \begin{align}
& \displaystyle ・ \ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \\
& \displaystyle ・ \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \\
& \displaystyle ・ \ \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}
\end{align} } \)
以上が解と係数の関係についての解説です。
万が一公式が曖昧になってしまった場合のために、因数定理と係数比較で自分で公式を導くことができるようになっておくのがベターです。
そうしておくことで、理解が深まり、結果公式を暗記（理解）できます。
この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています！
3次式の証明の①のところでカッコの前になぜaがつくのでしょうか
xの2乗の係数がaだからです。
もしaがないと、式を展開してみるとわかると思うのですが、係数が合いません。
とても参考になりました♂️ありがとうございます。