位置ベクトルを超わかりやすく解説した（内分・外分・重心）

【証明】

\( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \)，\( P(\vec{ p }) \) とする。

線分ABを \( m : n \) に内分する点をPとすると

\( \displaystyle \overrightarrow{ AP } = \frac{m}{m+n} \overrightarrow{ AB } \)

よって

\( \displaystyle \vec{ p } – \vec{ a } = \frac{m}{m+n} ( \vec{ b } – \vec{ a } ) \)

ゆえに

\( \displaystyle \vec{ p } = \left( 1 – \frac{m}{m+n} \right) \vec{ a } + \frac{m}{m+n} \vec{ b } \)

よって

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ p } = \frac{ n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m + n } } \)

【証明】

\( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \)，\( Q(\vec{ q }) \) とする。

\( m>n \) のとき，線分ABを \( m : n \) に外分する点をQとすると

\( \displaystyle \overrightarrow{ AQ } = \frac{m}{m-n} \overrightarrow{ AB } \)

よって

\( \displaystyle \vec{ q } – \vec{ a } = \frac{m}{m-n} ( \vec{ b } – \vec{ a } ) \)

ゆえに

\( \displaystyle \vec{ p } = \left( 1 – \frac{m}{m-n} \right) \vec{ a } + \frac{m}{m-n} \vec{ b } \)

よって

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ q } = \frac{ -n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m – n } } \)

\( m<n \) のとき，線分ABを \( m : n \) に外分する点をQとすると

\( \displaystyle \overrightarrow{ AQ } = \frac{m}{n-m} \overrightarrow{ BA } = \frac{m}{m-n} \overrightarrow{ AB } \)

ゆえに，\( m>n \) のときと同様に示される。

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ q } = \frac{ -n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m – n } } \)

【証明】

\( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \)， \( C(\vec{ c }) \)，\( G(\vec{ g }) \) とする。

MはBCの中点だから

\( \displaystyle \overrightarrow{ OM } = \frac{ \overrightarrow{ OB } + \overrightarrow{ OC } }{2} \)

∴ \( \color{blue}{ 2 \overrightarrow{ OM } = \overrightarrow{ OB } + \overrightarrow{ OC } } \cdots ① \)

重心Gは，中線AMを2：1に内分する点だから

\( \displaystyle \overrightarrow{ OG } = \frac{ \overrightarrow{ OA } + \color{blue}{ 2 \overrightarrow{ OM } } }{2+1} \)

①を代入すると

\( \displaystyle \displaystyle \overrightarrow{ OG } = \frac{ \overrightarrow{ OA } + \color{blue}{ \overrightarrow{ OB } + \overrightarrow{ OC } } }{3} \)

ゆえに

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ g } = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \)

【解答】

A，B，C，Gの位置ベクトルを，それぞれ \( \vec{ a } \)，\( \vec{ b } \)，\( \vec{ c } \)，\( \vec{ g } \) とし，P，Q，R，Hの位置ベクトルを，それぞれ \( \vec{ p } \)，\( \vec{ q } \)，\( \vec{ r } \)，\( \vec{ h } \) とすると

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ g } = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \cdots ① \)

また

\( \displaystyle \color{blue}{ \vec{ p } = \frac{ 2\vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \)，\( \displaystyle \color{blue}{ \vec{ q } = \frac{ 2\vec{ c } + \vec{ a } }{ 3 } } \)，\( \displaystyle \color{blue}{ \vec{ r } = \frac{ 2\vec{ a } + \vec{ b } }{ 3 } } \)

ゆえに

　\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \vec{ h } } & = \frac{ \color{blue}{ \vec{ p } } + \color{blue}{ \vec{ q } } + \color{blue}{ \vec{ r } } }{3}  \\
\\
& = \frac{1}{3} \left( \color{blue}{ \frac{ 2\vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } + \color{blue}{ \frac{ 2\vec{ c } + \vec{ a } }{ 3 } } + \color{blue}{ \frac{ 2\vec{ a } + \vec{ b } }{ 3 } } \right) \\
\\
& = \frac{1}{3} \cdot \frac{ 3 ( \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } ) }{3} \\
\\
& \color{red}{ = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \cdots ②
\end{align} \)

①，②から \( \color{red}{ \vec{ g } = \vec{ h } } \)

よって，点Gと点Hは一致するから，△ABCと△PQRの重心は一致する。