極方程式まとめ(直線・円・面積公式)

東大塾長の山田です。
このページでは、極方程式」について解説します

今回は,極座標・極方程式についてはじめから丁寧に解説していきます。さらに,難関大で使うことがある極方程式の面積公式についても解説します。
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 極座標

極方程式」についてわかりやすく解説していくために,順を追って,まずは極座標」の解説からしていきます
「極座標はわかるから極方程式の解説から見たい」という人は,「2. 極方程式」から読み進めてください。それでは始めていきます。

1.1 極座標とは?

平面上に点 \( O \) と,半直線 \( OX \) を定めます。
平面上の任意の点 \( P \) の位置は,\( O \) からの距離 \( r \) と \( OX \) を始線とする動径 \( OP \) の表す角 \( \theta \) で定めることができます。

このとき,\( (r, \ \theta) \) を点 \( P \) の 極座標 といい,定点 \( O \) を ,角 \( \theta \) を 偏角 といいます。

 

極座標では,\( (r, \ \theta) \) と \( (r, \ \theta + 2n \pi) \) は同じ点を表しますが,極座標による点の表し方を1通りにするために,偏角 \( \theta \) を例えば \( 0 ≦ \theta ≦ 2 \pi \) とすることがあります。

【例】

例えば,極座標 \( \displaystyle \left( 2, \ \frac{\pi}{3} \right) \) と \( \displaystyle \left( 2, \ \frac{7}{3}\pi \right) \) は同じ点を表します。

 

1.2 極座標と直交座標

極座標に対して,小学校から今までこれまで使ってきた \( (x, \ y) \) で表された座標を 直交座標 といいます。

極座標を考えるときは,ふつう,原点 \( O \) を極,\( x \) 軸の正の部分を始線とします

すると,極座標と直交座標の関係は次のようになることがわかります。

極座標と直交座標

点 \( P \) の直交座標を \( (x, \ y) \),極座標を \( (r, \ \theta) \) とすると

\( ① \begin{cases}
\displaystyle x = r \cos \theta \\
\displaystyle y = r \sin \theta
\end{cases} \)

\( \displaystyle ② \begin{cases}
\displaystyle r = \sqrt{ x^2 + y^2 } \\
\displaystyle \cos \theta = \frac{x}{r}, \ \ \sin \theta = \frac{y}{r} \ (r \neq 0)
\end{cases} \)

 

1.3 極座標での2点間の距離

極座標での2点間の距離は次のようになります。

極座標での2点間の距離

\( O \) を極とする2点 \( A(r_1, \ \theta_1) \),\( B(r_2, \ \theta_2) \) の2点\( A, \ B \) 間の距離は

\( \displaystyle \color{red}{ AB = \sqrt{ {r_1}^2 + {r_2}^2 – 2 r_1 r_2 \cos (\theta_2 – \theta_1) } } \)

長々としてわかりずらいかもしれませんが,これは 余弦定理 \( \color{red}{ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C } \) そのものです!

余弦定理まとめ(公式・面積・問題と解き方)

2018年11月27日

図示すると次のようになります。

\( \triangle OAB \) は \( \angle AOB = |\theta_2 – \theta_1| \),\( OA = r_1 \),\( OB = r_2 \) となるので,余弦定理より

\( AB^2 = {r_1}^2 + {r_2}^2 – 2 r_1 r_2 \cos (\theta_2 – \theta_1) \)

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ AB = \sqrt{ {r_1}^2 + {r_2}^2 – 2 r_1 r_2 \cos (\theta_2 – \theta_1) } } \)

【補足】

厳密には \( \angle AOB = |\theta_2 – \theta_1| \) ですが,\( \cos (\theta_2 – \theta_1) = \cos (\theta_1 – \theta_2) \) なので,絶対値をつけなくても大丈夫です。

 

1.4 極座標での三角形の面積

極座標での三角形の面積は次のようになります。

極座標での2点間の距離

\( O \) を極とする2点 \( A(r_1, \ \theta_1) \),\( B(r_2, \ \theta_2) \) があるとき,\( \triangle OAB \) の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ S = \frac{1}{2} r_1 r_2 | \sin (\theta_2 – \theta_1) | } } \)

この式も,先ほどの2点間の距離のときと同様に考えると,三角比の面積公式 \( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} ab \sin C } \) そのものです。

【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの面積公式と覚え方

2018年11月23日

 

2. 極方程式

それでは,今回の本題である極方程式の解説に入ります。

2.1 極方程式とは?

平面上の曲線が,極座標 \( (r, \ \theta) \) を用いた式

\( \displaystyle \color{red}{ r = f (\theta) } \) または \( \displaystyle \color{red}{ F(r, \ \theta) = 0 } \)

で表されるとき,この方程式を,その曲線の 極方程式 といいます。

 

2.2 直線・円の極方程式一覧

直線や円の極方程式は次のようになります。

直線・円の極方程式

【直線の極方程式】

[1] 極 \( O \) を通り,始線とのなす角が \( \alpha \) の直線

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ \theta = \alpha } } \)

[2] 点 \( A(a, \ \alpha) \) を通り,\( OA \) に垂直な直線

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ r \cos (\theta \ – \alpha) = a } } \ (a>0) \)

【円の極方程式】

[3] 中心が極 \( O \),半径が \( a \) の円

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ r= a } } \)

[4] 中心が \( (a, \ 0) \),半径が \( a \) の円

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ r = 2a \cos \theta } } \)

[5] 中心が \( (r_0, \ \theta _0) \),半径が \( a \) の円

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ r^2 – 2r r_0 \cos (\theta \ – \theta _0) + {r_0}^2 = a^2 } } \)

次のセクションから,具体例をあげながらそれぞれ詳しく解説していきます。

 

3. 直線の極方程式

まずは直線の極方程式の解説です。

[1] 極 \( O \) を通り,始線とのなす角が \( \alpha \) の直線

例えば

点 \( P(r, \ \theta) \) が極方程式 \( \displaystyle \theta = \frac{\pi}{3} \) を満たすとき

偏角は \( \displaystyle \frac{\pi}{3} \) で一定だから,極方程式 \( \displaystyle \theta = \frac{\pi}{3} \) で表される図形は,極 \( O \) を通り,始線となす角が \( \displaystyle \theta = \frac{\pi}{3} \) の直線です。

 

これを一般的にすると,極 \( O \) を通り,始線とのなす角が \( \alpha \) の直線 上の点 \( P \) の極座標を \( (r, \ \theta) \) とすると,\( \theta = \alpha \) は一定で,\( r \) は任意の値をとります。

よって \( \displaystyle \color{red}{ \large{ \theta = \alpha } } \)

 

[2] 点 \( A(a, \ \alpha) \) を通り,\( OA \) に垂直な直線

点 \( A(a, \ \alpha) \ (a>0) \) を通り,\( OA \) に垂直な直線 上の点 \( P \) の極座標を \( (r, \ \theta) \) とします。

上の図より

\( OA = OP \cos \angle POA \)

\( ∴ \ \color{red}{ \large{ r \cos (\theta \ – \alpha) = a } } \)

となります。

 

ここで例題をやってみましょう。

例題1

極座標が \( \displaystyle \left( 1, \ \frac{\pi}{6} \right) \) である点 \( A \) を通り,\( OA \)に垂直な直線の極方程式を求めよ。

【解答】

求める直線上の点を \( P(r, \ \theta) \) とすると,次のように図示できます。

\( \triangle OAP \) は直角三角形だから

\( OP \cos \angle AOP = OA \)

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ r \cos \left( \theta \ – \frac{\pi}{6} \right) = 1 \cdots 【答】 } \)

極方程式の解答のPoint

  1. 極方程式を求める問題では,まず,図形上の点\( P \) の極座標を\( (r, \ \theta) \) とおきます
  2. 必ず問題を図示して,イメージを持てるようにしましょう。

 

3. 円の極方程式

続いて円の極方程式の解説です。

[3] 中心が極 \( O \),半径が \( a \) の円

中心が極 \( O \),半径が \( a \) の円 周上の点点 \( P \) の極座標を \( (r, \ \theta) \) とします。

上の図より,\( r = a \) で一定で,\( \theta \) は任意の値をとります。

したがって,円の極方程式は

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ r= a } } \)

となります。

 

[4] 中心が \( (a, \ 0) \),半径が \( a \) の円

中心が \( (a, \ 0) \),半径が \( a \) の円 周上の点 \( P \) の極座標を \( (r, \ \theta) \) とします。

上の図で,\( \triangle POB \) は直角三角形だから

\( OP = 2 OA \cos \angle AOP \)

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ r = 2a \cos \theta } } \)

となります。

 

具体的に問題を解いてみましょう。

例題2

極 \( O \) を通り,中心 \( \displaystyle A ( 3, \ 0) \) の円の極方程式を求めよ。

【解答】

求める円周上の点を \( P(r, \ \theta) \) とすると,次のように図示できます。

\( \triangle POB \) は直角三角形だから

\( OP = OB \cos \angle BOP \)

\( \displaystyle \color{red}{ r = 6 \cos \theta \cdots 【答】 } \)

 

[5] 中心が \( (r_0, \ \theta _0) \),半径が \( a \) の円

中心が \( C(r_0, \ \theta _0) \),半径が \( a \) の円 周上の点 \( P \) の極座標を \( (r, \ \theta) \) とします。

上の図で,\( \triangle OCP \) において,余弦定理より

\( PC^2 = OP^2 + OC^2 – 2 OP \cdot OC \cos \angle COP \)

\( \displaystyle ∴ \ a^2 = r^2 + {r_0}^2 – 2 r r_0 \cos (\theta \ – \theta_0) \)

これを整理して

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ r^2 – 2r r_0 \cos (\theta \ – \theta _0) + {r_0}^2 = a^2 } } \)

となります。

 

具体的に問題を解いてみましょう。

例題3で

中心が \( \displaystyle A \left( 2, \ \frac{\pi}{3} \right) \),半径が \( 1 \) の円の極方程式を求めよ。

【解答】

\( O \) を極とし,求める円周上の点を \( P(r, \ \theta) \) とすると,次のように図示できます。

\( \triangle OAP \) において,余弦定理より

\( PA^2 = OP^2 + OA^2 – 2 OP \cdot OA \cos \angle AOP \)

\( \displaystyle ∴ \ 1^2 = r^2 + 2^2 – 2 \cdot r \cdot 2 \cos \left( \theta \ – \frac{\pi}{3} \right) \)

よって

\( \displaystyle \color{red}{ r^2 – 4 r \cos \left( \theta \ – \frac{\pi}{3} \right) + 3 = 0 \cdots 【答】 } \)

 

5. 2次曲線の極方程式

離心率 \( e \) である2次曲線の極方程式について考えましょう。

下の図のように,原点 \( O \) を1つの焦点にもつ2次曲線の準線を \( l:x = -a \),原点 \( O \) を極,\( x \) 軸の正の部分を始線とします。また,2次曲線上の任意の点の極座標を \( P(r, \ \theta) \) として,\( P \) から準線 \( l \) に引いた垂線の足を \( H \) とします。

離心率が \( e \) であるから

\( PO:PH = e:1 \)

\( ∴ \ PO = e PH \)

\( PO = r \),\( PH = a + e \cos \theta \) であるから

\( r = e (a + e \cos \theta) \)

よって,2次曲線の極方程式

\( \displaystyle \ \color{red}{ \large{ r = \frac{ea}{1 – e \cos \theta} } } \)

【補足】

今回は準線 \( l \) が極の左側でしたが,準線 \( l \) が極の右側の場合について同様に考えると,2次曲線の極方程式

\( \displaystyle \ \color{red}{ \large{ r = \frac{ea}{1 + e \cos \theta} } } \)

となります。

上の式において,

離心率と2次曲線

・\( \color{red}{ 0 < e < 1 } \) のとき → 楕円
・\( \color{red}{ e = 1 } \) のとき  → 放物線
・\( \color{red}{ e > 1 } \) のとき  → 双曲線

以上のように,曲線の種類に関係なく1つの方程式で表すことができることが,極方程式の利点の1つです。

 

6. 極方程式の面積公式【発展】

極方程式で表された曲線の面積は,定積分で次のように求めることができます。

極方程式の面積公式

極方程式 \( r = f (\theta) \ (\alpha ≦ \theta ≦ \beta) \) で表される曲線上の点と極 \( O \) を結んだ線分が通過する領域の面積は

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d \theta } } \)

なぜこの公式が成り立つのかイメージが湧くように,簡単に説明します。

【簡単な証明】

下の図のように,偏角が\( \theta \) から \( \Delta \theta \) まで変化したときの,面積 \( S \) の増分 \( \Delta S \) を考えると,\( \Delta \theta \) が十分に小さいとき,\( \Delta S \) は半径 \( r \),中心角 \( \Delta \theta \) の扇形とみなすことができます。

よって

\( \displaystyle \Delta S = \frac{1}{2}r^2(\Delta \theta) \)

これを \( \theta = \alpha \) から \( \beta \) まで積分すると,求めたい面積が求められるので

\( \displaystyle \color{red}{ S } = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}r^2 d \theta \color{red}{ = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d \theta } \)

 

 厳密な証明は,「定積分で面積が求める理由」での解説と同様に,はさみうちの原理 を使ってまったく同じように証明することができます。

この公式を使うことで,媒介変数表示の曲線や,極方程式で表された曲線の面積の問題を,かなり計算の手間を削減して求めることができます

 

7. おわりに

以上が 極座標・極方程式 の解説です。

極方程式の問題は,まず,図形上の点 \( P \) の極座標を\( (r, \ \theta) \) とおいて,図示してイメージをもつことが重要です。

数Ⅲは理系学生の合否を分ける分かれ道にもなるので,この記事を参考にして極方程式をきっちりマスターしてください!

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