内部エネルギーの公式と求め方

東大塾長の山田です。
このページでは、「内部エネルギーの説明とその導出」を超わかりやすく詳しく解説しています。

ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 内部エネルギーについて

1.1 内部エネルギーとは

内部エネルギーとは、

「原子分子の並進運動や回転・振動のエネルギー、分子間力による位置エネルギーの和」

のことをいいます。

内部エネルギーは、運動エネルギー・位置エネルギーのように容易に観測・測定なエネルギー（マクロなエネルギー）とは違い、知覚することが難しい、原子・分子の世界からしか捉えることができないエネルギー（ミクロなエネルギー）です。

内部エネルギーは、分子の運動によって決まるエネルギーで、外部の様子は式には関わってきません。

1.2 単原子分子理想気体の内部エネルギー

ここでは、単原子分子理想気体の内部エネルギーの前提条件の解説を行います。

まず理想気体なので、分子自体の大きさは無視することができ、分子間力は無視できます。分子間力による位置エネルギーは、ここでは無視です。

さらに、単原子分子気体の場合、気体分子運動論の記事でも解説したように、並進・回転運動は無視できるので、この場合並進運動のみを考慮することになります。

結局、単原子分子理想気体の内部エネルギーを議論する際は、並進運動によるエネルギーを考慮することになります。

1.3 気体分子運動論を用いた導出

それでは、導出を行いましょう。

気体分子運動論の帰結より、絶対温度 \( T \) [K]の単原子分子の理想気体一個当たりが持つ、並進運動エネルギー \( u \) [J]は、ボルツマン定数 \( \displaystyle k = \frac{R}{N_A} \) を用いて以下のように表記することができます。

\( \displaystyle u = \frac{1}{2} m \bar{v}^2 = \frac{3}{2}kT \)

したがって、\( n \) [mol]の気体分子における内部エネルギー \( U \) は、気体分子の個数が、\( n N_A \) 個であることを考慮すると、次のように計算することができます。

\( \begin{align}
\displaystyle U & = \sum_{i=1}^{nN_A} u \\
\\
& = n N_A \times \frac{3}{2} kT \\
\\
& = n N_A \times \frac{3}{2} \cdot \frac{R}{N_A}T \\
\\
& = \frac{3}{2} nRT
\end{align} \)

これは必ず頭に入れておきましょう！

単原子分子理想気体の内部エネルギーは、分子数と絶対温度に比例し、気体の体積には依りません。

また、絶対温度が反応の前後で \( \Delta T \) [K]だけ上昇したとき、内部エネルギーが \( \Delta U \) [J]上昇したとすると

\( \begin{align}
\displaystyle \Delta U &=\frac{3}{2} n R(T+\Delta T)-\frac{3}{2} n R T \\
\\
& = \frac{3}{2} n R \Delta T
\end{align} \)

とすることができます！

2．まとめ

以上です。最後に今回学んだことをまとめておくので、復習に役立ててください！