内部エネルギーの公式と求め方

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東大塾長の山田です。

このページでは、内部エネルギーの説明とその導出を行っています!

ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 内部エネルギーについて

1.1 内部エネルギーとは

内部エネルギーとは、

「原子分子の並進運動や回転・振動のエネルギー、分子間力による位置エネルギーの和」

のことをいいます。

内部エネルギーは、運動エネルギー・位置エネルギーのように容易に観測・測定なエネルギー(マクロなエネルギー)とは違い知覚することが難しい、原子・分子の世界からしか捉えることができないエネルギー(ミクロなエネルギー)です。

内部エネルギーは、分子の運動によって決まるエネルギーで、外部の様子は式には関わってきません。

1.2 単原子分子理想気体の内部エネルギー

ここでは、原子分子理想気体の内部エネルギーの前提条件の解説を行います。

まず理想気体なので、分子自体の大きさは無視することができ、分子間力は無視できます。分子間力による位置エネルギーは、ここでは無視です。

さらに、単原子分子気体の場合、気体分子運動論の記事でも解説したように、並進・回転運動は無視できるので、この場合並進運動のみを考慮することになります。

結局、単原子分子理想気体の内部エネルギーを議論する際は、並進運動によるエネルギーを考慮することになります。

1.3 気体分子運動論を用いた導出

それでは、導出を行いましょう。

気体分子運動論の帰結より、絶対温度\(T\)[K]の単原子分子の理想気体一個当たりが持つ、並進運動エネルギー\(u\)[J]は、ボルツマン定数\(k=\displaystyle\frac{R}{N_A}\)を用いて以下のように表記することができます。

\[u=\displaystyle\frac{1}{2}m\bar{v}^2=\displaystyle\frac{3}{2}kT\]

したがって、\(n\)[mol]の気体分子における内部エネルギー\(U\)は、気体分子の個数が、\(nN_A\)個であることを考慮すると、次のように計算することができます。

\[U=\sum_{i=1}^{nN_A} u\] \[\quad=nN_A\times \displaystyle\frac{3}{2}kT\] \[\quad=nN_A\times \displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{R}{N_A}T\] \[\quad=\displaystyle\frac{3}{2}nRT\]

内部エネルギー

\[U=\displaystyle\frac{3}{2}nRT\]

これは必ず頭に入れておきましょう!

単原子分子理想気体の内部エネルギーは、分子数と絶対温度に比例し、気体の体積には依りません。

また、絶対温度が反応の前後で\(\Delta T\)[K]だけ上昇したとき、内部エネルギーが\(\Delta U\)[J]上昇したとすると、

\[\begin{aligned} \Delta U &=\frac{3}{2} n R(T+\Delta T)-\frac{3}{2} n R T \\ &=\displaystyle\frac{3}{2} n R \Delta T \end{aligned}\]

とすることができます!

補足

\(U=\displaystyle\frac{3}{2}nRT\)は単原子分子理想気体の場合のみに成り立つ公式です。

例えば、二原子分子理想気体の場合は、並進運動の他に回転・振動運動を考慮する必要があり、同じように表記することができません。(ただし高温でないときは、振動運動は無視できる)二原子分子の場合は以下のように表記できます。

\[U=\displaystyle\frac{5}{2}nRT\]

これを用いる際は、必ず問題文で与えらえるので特に覚える必要はありません。

2.まとめ

以上です。最後に今回学んだことをまとめておくので、復習に役立ててください!

まとめ

単原子分子理想気体の内部エネルギー:\(U=\displaystyle\frac{3}{2}nRT\)

分子数と温度に比例することが分かる!

(cf.二原子分子の場合:\(U=\displaystyle\frac{5}{2}nRT\))

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