微分の公式一覧(証明付き)【数学Ⅱ】

【勉強法はこちら】

東大塾長の山田です。
このページでは、数学Ⅱで必要な「微分の公式」を一覧にしています

公式の証明も解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 微分の公式一覧

まずは微分の定義を確認してから,公式と公式の使い方の例を列挙していきます。

1.0 微分(導関数)の定義

導関数の定義

関数 \( f (x) \) の導関数 \( f’(x) \) は

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \ – f(x)}{h} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+ \Delta x ) \ – f(x)}{\Delta x} } \)

「そもそも微分ってなんだっけ?」という状態の人は、「微分係数と導関数(定義・求め方・違い)」の記事で詳しく解説しているのでチェックしておきましょう。

微分係数と導関数(定義・求め方・違い)

2019年1月21日

 

1.1 \( x^n \) の微分公式

べき関数の微分公式

\( \color{red}{ \left( x^n \right)’ = nx^{n \ – 1} } \)

【例】

 ・\( \left( x \right)’ = 1 \cdot x^{1 \ -1} = 1 \cdot x^0 = 1 \)

 ・\( \left( x^2 \right)’ = 2 \cdot x^{2 \ -1} = 2x \)

 ・\( \left( x^3 \right)’ = 3 \cdot x^{3 \ -1} = 3x^2 \)

 ・\( \left( x^4 \right)’ = 4x^3 \)

 

1.2 定数の微分公式

定数関数の微分公式

\( \left( k \right)’ = 0 \) (\( k \) は実数)

【例】

 ・\( \left( 1 \right)’ = 0 \)

 ・\( \left( 5 \right)’ = 0 \)

 

1.3 定数倍の微分公式

定数倍の微分公式

定数 \( k \) と関数 \( f(x) \) について

\( \color{red}{ \left( k f(x) \right)’ = k f’(x) } \)

【例】

 ・\( \left( 5x \right)’ = 5 \cdot \left( x \right)’ = 5 \cdot 1 = 5 \)

 ・\( \left( 3x^2 \right)’ = 3 \cdot \left( x^2 \right)’ = 3 \cdot 2x = 6x \)

 ・\( \left( 7x^3 \right)’ = 7 \cdot 3x^2 = 21x^2 \)

 

1.4 和・差の微分公式

定数倍の微分公式

定数 \( k, \ l \) と関数 \( f(x), \ g(x) \) について

・\( \color{red}{ \left\{ f(x) + g(x) \right\}’ = f’(x) + g’(x) } \)

・\( \color{red}{ \left\{ f(x) \ – g(x) \right\}’ = f’(x) \ – g’(x) } \)

また定数倍の微分公式より

・\( \color{red}{ \left\{ k f(x) + l g(x) \right\}’ = k f’(x) + l g’(x) } \)

・\( \color{red}{ \left\{ k f(x) \ – l g(x) \right\}’ = k f’(x) \ – l g’(x) } \)

【例】

\( \begin{align}
\bullet \ \left( 2x^3 – x \right)’ & = 2 \cdot \left( x^3 \right)’ – \left( x \right)’ \\
& = 2 \cdot 3x^2 – 1 \\
& = 6x^2 – 1
\end{align} \)

\( \begin{align}
\bullet \ \left( 3x^2 – 5x + 2 \right)’ & = 3 \cdot \left( x^2 \right)’ – 5 \cdot \left( x \right)’ + \left( 2 \right)’ \\
& = 3 \cdot 2x -5 \cdot 1 + 0 \\
& = 6x -5
\end{align} \)

 

1.5 積の微分公式【数学Ⅲ】

積の形の関数の微分は数学Ⅲで学習する公式ですが、覚えておくと便利です。

積の微分公式

\( \color{red}{ \left\{ f(x) g(x) \right\}’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x) } \)

【例】 \( y = (2x+3) (x^2-1) \)

\( \begin{align}
y’ & = (2x+3)’ \cdot (x^2-1) + (2x+3) \cdot (x^2-1)’ \\
& = 2 \cdot (x^2-1) + (2x+3) \cdot 2x \\
& = 6x^2 + 6x – 2
\end{align} \)

 

1.6 累乗の微分公式【数学Ⅲ】

累乗の形の関数の微分は数学Ⅲで学習する公式ですが、覚えておくと便利です。

累乗の微分公式

\( \color{red}{ \left\{ (ax+b)^n \right\}’ = n(ax+b)^{n-1} (ax+b)’ } \)

一般に

\( \color{red}{ \left( \left\{ f(x) \right\}^n \right)’ = n \left\{ f(x) \right\}^{n-1} f’(x) } \)

【例】 \( y = (2x-1)^3 \)

\( \begin{align}
y’ & = 3(2x-1)^2 \cdot (2x-1)’ \\
& = 3(2x-1)^2 \cdot 2 \\
& = 6(2x-1)^2
\end{align} \)

 

2. 微分の公式の証明

微分公式の証明をしていきます。

2.1 \( x^n \) の微分公式の証明

べき関数の微分公式

\( \color{red}{ \left( x^n \right)’ = nx^{n \ – 1} } \)

【証明】

二項定理により

\( (x+h)^n = x^n + {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + {_n \mathrm{ C }_2} x^{n-2}h^2 + \cdots \cdots + {_n \mathrm{ C }_n} h^n \)

よって

\( \begin{align}
\Delta y & = (x+h)^n – x^n \\
& = {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + \color{blue}{ \left( {_n \mathrm{ C }_2} x^{n-2} + \cdots \cdots + {_n \mathrm{ C }_n} h^{n-2} \right) } h^2
\end{align} \)

したがって

\( \begin{align}
\displaystyle \left( x^n \right)’ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n – x^n }{h} \\
\\
& = \lim_{h \to 0} \left\{ {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + \color{blue}{ \left( \cdots \cdots \right) } h \right\} \\
\\
& = {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h \\
\\
& = \color{red}{ n x^{n-1} }
\end{align} \)

 

2.2 定数の微分公式の証明

定数関数の微分公式

\( \left( k \right)’ = 0 \) (\( k \) は実数)

【証明】

\( f(x) = k \) とおくと,\( f(x+h) = k \) であるから

\( \Delta y = k \ – k = 0 \)

したがって

\( \begin{align}
\displaystyle f’(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
\\
& = \lim_{h \to 0} 0 = \color{red}{ 0 }
\end{align} \)

 

2.3 定数倍の微分公式の証明

定数倍の微分公式

定数 \( k \) と関数 \( f(x) \) について

\( \color{red}{ \left( k f(x) \right)’ = k f’(x) } \)

【証明】

\( y = k f(x) \)(\( k \) は定数)のとき,

\( \begin{align}
\Delta y & = kf(x + \Delta x) – kf(x) \\
\\
& = k \left\{ f(x + \Delta x) – f(x) \right\}
\end{align} \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle y’ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ k \cdot \frac{ f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} \right\} \\
\\
& = \color{red}{ k f’(x) }
\end{align} \)

 

2.4 和・差の微分公式の証明

定数倍の微分公式

定数 \( k, \ l \) と関数 \( f(x), \ g(x) \) について

・\( \color{red}{ \left\{ f(x) + g(x) \right\}’ = f’(x) + g’(x) } \)

・\( \color{red}{ \left\{ f(x) \ – g(x) \right\}’ = f’(x) \ – g’(x) } \)

また定数倍の微分公式より

・\( \color{red}{ \left\{ k f(x) + l g(x) \right\}’ = k f’(x) + l g’(x) } \)

・\( \color{red}{ \left\{ k f(x) \ – l g(x) \right\}’ = k f’(x) \ – l g’(x) } \)

【証明】

\( y = f(x) + g(x) \) のとき

\( \begin{align}
\Delta y & = \left\{ f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) \right\} – \left\{ f(x) + g(x) \right\} \\
\\
& = \left\{ f(x + \Delta x) – f(x) \right\} – \left\{ g(x + \Delta x) – g(x) \right\}
\end{align} \)

ゆえに

\( \begin{align}
\displaystyle y’ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ \frac{ f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} + \frac{ g(x + \Delta x) – g(x)}{\Delta x} \right\} \\
\\
& = \color{red}{ f’(x) + g’(x) } \cdots ①
\end{align} \)

 

また,①と定数倍の微分公式より

\( \begin{align}
\left\{ k f(x) + l g(x) \right\}’ & =\left\{ k f(x) \right\}’ + \left\{ l g(x) \right\}’ \\
\\
& = \color{red}{ k f’(x) + l g’(x) } \cdots ②
\end{align} \)

 

②で \( k = 1, \ l = \ -1 \) とすると

\( \color{red}{ \left\{ f(x) \ – g(x) \right\}’ = f’(x) \ – g’(x) } \)

②で \( k = k, \ l = \ -l \) とすると

\( \color{red}{ \left\{ k f(x) \ – l g(x) \right\}’ = k f’(x) \ – l g’(x) } \)

が導かれる。

 

2.5 積の微分公式【数学Ⅲ】の証明

積の微分公式

\( \color{red}{ \left\{ f(x) g(x) \right\}’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x) } \)

【証明】

\( F(x) = f(x) g(x) \) とおくと,導関数の定義より

\( \begin{align}
\displaystyle F’(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) g(x+h) – f(x) g(x)}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) g(x+h) \color{blue}{ – f(x) g(x+h) + f(x) g(x+h) } – f(x) g(x)}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h) – g(x)}{h} \right\} \\
\\
& = f’(x) g(x) + f(x) g’(x)
\end{align} \)

 

2.6 累乗の微分公式【数学Ⅲ】の証明

累乗の微分公式

\( \color{red}{ \left\{ (ax+b)^n \right\}’ = n(ax+b)^{n-1} (ax+b)’ } \)

一般に

\( \color{red}{ \left( \left\{ f(x) \right\}^n \right)’ = n \left\{ f(x) \right\}^{n-1} f’(x) } \)

【証明】

\( \left\{ (ax+b)^n \right\}’ = n(ax+b)^{n-1} (ax+b)’ \cdots ①\) として,数学的帰納法で等式の証明をする。

[1] \( n = 1 \) のとき

\( (左辺) = (ax+b)’ = a \)

\( (右辺) = 1 \cdot (ax+b)^0 \cdot (ax+b)’ = a \)

ゆえに,\( n = 1 \) のとき,等式①は成り立つ。

[2] \( n = k \) のとき,等式①が成り立つ,すなわち

\( \begin{align}
\color{red}{ \left\{ (ax+b)^k \right\}’ } & = k(ax+b)^{k-1} (ax+b)’ \\
\\
& \color{red}{ = ak(ax+b)^{k-1} } \cdots ②
\end{align} \)

と仮定する。

\( n = k+1 \) のときについて

\( \begin{align}
\left\{ (ax+b)^{k+1} \right\}’ & = \left\{ (ax+b)^k (ax+b) \right\}’ \\
\\
& = \color{red}{ \left\{ (ax+b)^k \right\}’ } (ax+b) + (ax+b)^k (ax+b)’ \\
\\
& = \color{red}{ ak(ax+b)^{k-1} } (ax+b) + (ax+b)^k \cdot a \\
\\
& = ak(ax+b)^k + a (ax+b)^k \\
\\
& = a (ax+b)^k (k+1) \\
\\
& = (k+1) (ax+b)^{(k+1)-1} (ax+b)’
\end{align} \)

よって,\( n = k+1 \) のときにも等式①が成り立つ。

[1],[2]より,等式①はすべての自然数 \( n \) について成り立つ。

 

以上が数学Ⅱの微分公式の解説のすべてです!

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