【高校物理】熱力学の公式まとめ

比熱：単位質量の物体の温度を１[K]上昇させるために必要な熱量のこと。

熱量保存則：異なった温度の物体を接触させた時、しばらく時間がたった時全体が中間期な温度になる(熱平衡)。このとき、他との熱のやり取りがないとすると、

「低温物質が得た熱量=高温物質が失った熱量」

が成立する。

理想気体については以下の状態方程式が成り立つ。

\( \displaystyle PV=nRT \)

\( P \)：圧力\( [\rm{Pa}]\)，\( V \)：体積\( [\rm{m^3}] \)，\( n \)：物質量\( [\rm{mol}] \)，\( R \)：気体定数，\( T \)：温度\( [\rm{K}] \)

また、気体の状態方程式より以下の法則が成り立つことが分かる。

温度一定のとき：\( \displaystyle PV=\rm{const.} \)（ボイルの法則）

圧力一定のとき：\(\displaystyle \frac{V}{T}=\rm{const.} \)（シャルルの法則）

上二つ合わせて：\(\displaystyle \frac{PV}{T} = \rm{const.} \)（ボイル・シャルルの法則）

①一つの気体分子が単位時間あたりに壁に及ぼす力積を求める。

\( \displaystyle 2mv_x \)

②求めた力積から、一個の分子が単位時間あたりに気体分子が壁に及ぼす力 \( \displaystyle \bar{f} \) を求め、\( N \) 個の分子が及ぼす力 \( F \) を求める。

\( \displaystyle \bar{f} = \frac{mv_x^2 }{L} = \frac{\bar{v}^2}{3} \)

\( \displaystyle ∴ \ F = \frac{Nm\bar{v}^2}{3L} \)

③壁にかかる圧力 \( P \) を求める。

\( \displaystyle P = \frac{Nm\bar{v}^2}{3V} \)

④理想気体の状態方程式を用いて、「分子の平均運動エネルギー」「内部エネルギー」を求める。

\( \displaystyle \frac{1}{2} m \bar{v}^2 = \frac{3}{2}kT \)

\( \displaystyle U = \frac{3}{2}nRT \)

単原子分子理想気体の内部エネルギー：\( \displaystyle U = \frac{3}{2}nRT \)

分子数と温度に比例することが分かる！

（cf.二原子分子の場合：\( \displaystyle U = \frac{5}{2}nRT \)）

熱力学第一法則：\( \Delta U=-W+Q \)

\( \begin{align}
& \Delta U : 内部エネルギーの変化 \\
& W:気体がする仕事 \\
& Q:吸熱量
\end{align} \)

熱力学の枠組み

定積モル比熱：\( \displaystyle C_V = \frac{3}{2}R \)

定圧モル比熱：\( \displaystyle C_P = \frac{5}{2}R \)

マイヤーの法則：\(C_P-C_V=R\)

比熱比：\( \displaystyle γ = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3} \)

ただしこれらは、すべて単原子理想気体における値。

熱力学第一法則：\( \Delta U = – p \Delta V+Q \)

定圧モル比熱：\( \displaystyle C_P = \frac{5}{2} R \)

熱力学第一法則：\( \displaystyle \Delta U=Q \)

定積モル比熱：\( \displaystyle C_V = \frac{3}{2}R \)

熱力学第一法則：\( W=Q \)

\( \displaystyle W=Q=nRT \log \frac{V_B}{V_A} \)

熱力学第一法則：\( \displaystyle \Delta U=-W \)

ポアソンの公式：\( \displaystyle P V^{\gamma}=\rm{const.},\quad T V^{γ-1}=\rm{const.} \)

ただし \( \gamma \) は比熱比\( \displaystyle γ=\frac{C_P}{C_V} \)である。

断熱変化：ポアソンの公式と熱力学第一法則を用いる

非平衡過程：全体のエネルギー収支に着目する

熱サイクルにおける熱力学第一法則：\( \displaystyle W_{c y c l e}=Q_{i n}-Q_{o u t} \)

熱効率の定義：\( \displaystyle e = \frac{W_{c y c l e}}{Q_{i n}} = 1 – \frac{Q_{o u t}}{Q_{i n}} \)