【数学Ⅲ】積分計算の型網羅part4(無理関数）

【無理関数の例】

\(y=\sqrt{2x+5}, \quad y=\displaystyle\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+x+1}},\quad y=\frac{x}{\sqrt[3]{x+5}}\)

①　分母を定数にできるのならば分母を有理化する

【例】　\(I=\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}} dx\)

基本方針通り行いましょう。まずは非積分関数を有理化していきます。

\(\begin{aligned}\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}}&=\displaystyle\int \frac{x(\sqrt{2x+3}+3)}{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{3})x(\sqrt{2x+3}+3)}\\&=\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{3}}{2}\end{aligned}\)

これを用いて積分を行いましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}}dx \\&=\frac{1}{2}\int (\sqrt{2x+3}+\sqrt{3}) dx\\&=\frac{1}{2}\{\frac{3}{2}(2x+3)^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{2}+\sqrt{3} x\}+C \\&=\frac{1}{6}(2x+3)\sqrt{2x+3}+\frac{\sqrt{3}}{2}x+C\end{aligned}\)

②　根号が一次式ならば、根号ごと置換する

【例】　\(I=\displaystyle \int (x+1)\sqrt{2x-1} dx\)

\(t=\sqrt{2x-1}\)と置換しましょう。このとき、\(x=\displaystyle\frac{t^2 +1}{2}\)となり、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=t\)となります。

よって、

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle \int (x+1)\sqrt{2x-1} dx\\&=\int \left(\frac{t^2+1}{2}+1\right)\cdot t\cdot t dt\\&= \int\left(\frac{t^2+3}{2}\right)t^2 dt\\&=\frac{1}{2}\int (t^4+3t^2) dt \\&=\frac{1}{10}t^3 (t^2 +5)+C\\&=\frac{1}{10}(2x-1)\sqrt{2x-1}\{(2x-1)+5\}+C\\&=\frac{1}{5}(x+2)(2x-1)\sqrt{2x-1} +C\end{aligned}\)

【例】\(a>0\)のとき、\(\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx\)を計算してみましょう。

\(x=a\sin\theta\)と置換すると、被積分関数は

\(\begin{aligned}\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}&=\sqrt{a^2\cos^2\theta}\\&=a|\cos\theta|\end{aligned}\)

となり、\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=a\cos\theta\)で\(x:0\to a\)のとき\(\theta:0\to\displaystyle\frac{\pi}{2}\)となるから

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos\theta\cdot a\cos\theta d\theta\\&=a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta\\&=a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta\\&=\displaystyle\frac{a^2\pi}{4}\end{aligned}\)

となります。

【解答】

(1)　\(I=\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} dx\)

これは方針①です。被積分関数を有理化していきましょう。

\(\begin{aligned}\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}&=\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}\\&=\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x}\\&=\sqrt{x+1}+1\end{aligned}\)

上手く有理化できたので、実際に積分を行います。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} dx\\&=\int (\sqrt{x+1}+1) dx\\&=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+x+C\\&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}+x+C\end{aligned}\)

(2)　\(I=\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}} dx\)

これはパターン②です。根号ごと置換しましょう。

\(\sqrt[3]{x^2+1}=t\)と置換します。このとき、\(x^2+1=t^3\)なので、\(x dx =\frac{3}{2}t^2 dt\)となります。実際に積分を行うと

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}} dx\\&=\int \frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2+1}}\cdot x dx\\&= \int \frac{t^3-1}{t} \frac{3}{2}t^2 dt\\&=\frac{3}{2}\int (t^4-t) dt \\&=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{5}t^5 -\frac{1}{2}t^2\right)+C\\&=\frac{3}{20}t^2(2t^3-5)+C\\&=\frac{3}{20}(x^2+1)\frac{2}{3}\{2(x^2+1)-5\}+C\\&=\frac{3}{20}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}(2x^2-3)+C\end{aligned}\)

(3)　\(I=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x}}} dx\)

これもパターン②ですね。実際に、\(t=\sqrt{1-\sqrt{x}}\)と置換すると、\(x=(1-t^2)^2\)となり、\(dx=4t(t^2-1)dt\)となるので、実際に積分を行ってみると

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x}}} dx\\&=4\int \frac{t(t^2-1)}{t} dt\\&=4\int (t^2-1) dt\\&=4\left(\frac{1}{3}t^3-t\right)+C\\&=\frac{4}{3}\sqrt{1-\sqrt{x}}\{(\sqrt{1-\sqrt{x}})-3\}+C\\&=-\frac{4}{3}\sqrt{1-\sqrt{x}}(2+\sqrt{x})+C\end{aligned}\)