楕円の知識まとめ（面積・方程式・焦点・接線・媒介変数表示）

【例】

楕円 \( 9x^2 + 16y^2 = 144 \) の長軸・短軸の長さ，焦点を求めてみましょう。

楕円の式の両辺を144で割って，「＝1」の形（標準形）に直すと

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 } \)

よって，頂点は

\( (4, \ 0) \)，\( (-4, \ 0) \)，\( (0, \ 3) \)，\( (0, \ -3) \)

であるから

長軸の長さは8，短軸の長さは6

また，焦点は \( \displaystyle c = \sqrt{a^2 – b^2} \) より

\( \displaystyle \sqrt{16 – 9} = \sqrt{7} \)

したがって，焦点は2点 \( (\sqrt{7}, \ 0) \)，\( (-\sqrt{7}, \ 0) \)

【証明①】

楕円 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の式について，両辺を \( b^2 \) 倍すると

\( \displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^2 x^2 + y^2 = b^2 \)

\( \displaystyle ∴ \ \frac{x^2}{\left( \frac{a}{b} \right)^2} + y^2 = b^2 \)

これは，円 \( x^2 + y^2 = b^2 \) を\( x \) 軸方向に \( \displaystyle \frac{a}{b} \) 倍したものである。

円 \( x^2 + y^2 = b^2 \) の面積 \( S’ \) は \( \pi b^2 \) で，図形を横に \( \displaystyle \frac{a}{b} \) 倍に拡大すると，面積も \( \displaystyle \frac{a}{b} \) 倍になるので，楕円の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S } = \pi b^2 \times \frac{a}{b} \color{red}{ = \pi ab } \)

【証明②】

楕円 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の式を，\( y \) について解くと

\( \displaystyle y = \pm b \sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}} \)

（プラスの方は \( x \) 軸より上の部分の式，マイナスの方はは \( x \) 軸より下の部分の式）

楕円は \( x \) 軸，\( y \) 軸に関して対称であるから，楕円の面積 \( S \) は，上の図の斜線部分の面積 \( S’ \) の4倍となる。

面積 \( S’ \) は

\( \displaystyle S’ = \int_{0}^{a} b \sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}} dx \)

\( x = a \sin \theta \) と置換すると，

\( \displaystyle \frac{dx}{d \theta} = a \cos \theta \)

\( ∴ \ \color{blue}{ dx = a \cos \theta d \theta } \)

\( x \) と \( \theta \) の対応は次の表のようになる。

区間 \( \displaystyle 0 ≦ \theta ≦ \frac{\pi}{2} \) において，\( \cos \theta ≧ 0 \) であるから

\( \begin{align}
\displaystyle \color{magenta}{ \sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}} } & = \sqrt{1 – \frac{a^2 \sin ^2 \theta}{a^2}} \\
\\
& = \sqrt{1 – \sin ^2 \theta} \\
\\
& \color{magenta}{ = \cos \theta }
\end{align} \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle S’ & = \int_{\color{red}{ 0 }}^{\color{red}{ a }} b \color{magenta}{ \sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}} } \color{blue}{ dx } \\
\\
& = \int_{\color{red}{ 0 }}^{\color{red}{ \frac{\pi}{2} }} b \cdot \color{magenta}{ \cos \theta } \cdot \color{blue}{ a \cos \theta d \theta } \\
\\
& = ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 \theta d \theta \\
\\
& = ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta \\
\\
& = \frac{ab}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
\\
& = \frac{\pi ab}{4}
\end{align} \)

したがって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S } & = 4 S’ \\
\\
& = 4 \times \frac{\pi ab}{4} \\
\\
& \color{red}{ = \pi ab }
\end{align} \)

【証明】

楕円 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ① \) の，傾き \( m \) の接線の方程式を

\( y = mx + n \cdots ② \)

とし，接点の座標を \( (x_1, \ y_1) \) とする。

②を①に代入して，\( x \) について整理すると

\( \displaystyle (b^2 + a^2 m^2) x^2 + 2a^2 mnx + a^2 n^2 – a^2 b^2 = 0 \cdots ③ \)

②の直線が①の放物線に接する条件は，③の2次方程式の判別式 \( D \) が \( D = 0 \) のときであるから

\( \displaystyle \frac{D}{4} = (a^2 mn)^2 –(b^2 + a^2 m^2) (a^2 n^2 – a^2 b^2) = 0 \)

\( \displaystyle ∴ \ a^2 b^4 + a^4 b^2 m^2 = a^2 b^2 n^2 \)

両辺を \( a^2 b^2 \) で割って

\( b^2 + a^2 m^2 = n^2 \cdots ④ \)

このとき，③の解（重解）は

\( \displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{b^2 + a^2 m^2} \)

これに④を代入すると

\( \displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{n^2} = – \frac{a^2 m}{n} \cdots ⑤ \)

⑤を②に代入すると

\( \begin{align}
\displaystyle y_1 & = mx_1 + n \\
\\
& = – \frac{a^2 m^2}{n} + n \\
\\
& = \frac{n^2 – a^2 m^2}{n}
\end{align} \)

これに④を代入すると

\( \displaystyle y_１＝\frac{b^2}{n} \)

よって，\( y_1 \neq 0 \) のとき

\( \displaystyle n = \frac{b^2}{y_1} \)

これを⑤に代入すると

\( \displaystyle x_1 = – \frac{a^2 m y_1}{b^2} \)

\( \displaystyle ∴ \ m = – \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} \)

\( \displaystyle m = – \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} \)，\( \displaystyle n = \frac{b^2}{y_1} \) を②に代入して

\( \displaystyle y = – \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} x + \frac{b^2}{y_1} \)

これを整理すると，接線の方程式は

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)

さらに，\( y_1 = 0 \) のとき \( x_1 = \pm a \) であり，接線の方程式は \( x = \pm a \) となり，\( y_1 = 0 \) のときも成り立つ。

【証明】

楕円 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式を求める。

この接線の方程式は

\( \color{red}{ y \ – y_1 = y’ (x \ – x_1) } \)

\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の両辺を \( x \) について微分すると

\( \displaystyle \frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot y’ = 0 \)

ゆえに，\( y \neq 0 \) のとき　\( \displaystyle y’ = – \frac{b^2 x}{a^2 y} \)

よって，点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式は，\( y_1 \neq 0 \) のとき

\( \displaystyle \color{red}{ y \ – y_1 = – \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} (x \ – x_1) } \)

両辺に \( \displaystyle \frac{y_1}{b^2} \) を掛けて

\( \displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = \frac{{x_1}^2}{a^2} + \frac{{y_1}^2}{b^2} \cdots ①\)

点 \( (x_1, \ y_1) \) は楕円上の点であるから

\( \displaystyle \frac{{x_1}^2}{a^2} + \frac{{y_1}^2}{b^2} = 1 \cdots ② \)

よって，①に②を代入して，接線の方程式は

\( \displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 \)

さらに，\( y_1 = 0 \) のとき \( x_1 = \pm a \) であり，接線の方程式は \( x = \pm a \) となるので，\( y_1 = 0 \) のときも成り立つ。

したがって，楕円 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式は

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)