離心率と2次曲線のまとめ

1. 離心率とは？

まずは「離心率とは何か？」ということについて解説していきます。

 

放物線は，定点 \( F \) (焦点)と，\( F \) を通らない定直線 \( l \) (準線)からの距離が等しい(1：1で一定)点の軌跡と定義されます。

楕円，双曲線についても，点 \( F \) と定直線 \( l \) からの距離の比が一定な点の軌跡と定義できます。

（放物線・楕円・双曲線の定義や基本事項が曖昧な人は，下の記事で必ず復習してください!!）

下の図のように，点 \( P(x, \ y) \) から定直線 \( l \) に引いた垂線の足を \( H \) とします。

\( PF：PH = \color{red}{ e }：1 （eは正の定数） \)

を満たす点 \( P \) の軌跡は，\( F \) を1つの焦点とする2次曲線であり，この \( \color{red}{ e } \) を 離心率 といい，直線 \( l \) を 準線 といいます。

 

2 .離心率と2次曲線

この離心率 \( e \) の値によって，2次曲線は次のように分類されます。

以上のようになることを，次で確かめてみましょう。

 

3. 離心率と2次曲線の証明（確認）

座標平面上で，\( l \) を \( y \) 軸\( （x = 0） \)，\( F(c, \ 0) \)\( （c>0） \)，\( P(x, \ y) \) とし，\( P \) から \( y \) 軸に引いた垂線を \( PH \) とすると

\( PF：PH = e：1 \) より

\( \displaystyle e = \frac{PF}{PH} = \frac{\sqrt{ (x-c)^2 + y^2 }}{|x|} \)

\( \displaystyle ∴ \ \sqrt{ (x-c)^2 + y^2 } = e |x| \)

両辺を平方して整理すると

\( \displaystyle \color{red}{ (1 – e^2) x^2 – 2cx + y^2 + c^2 = 0 } \cdots ① \)

[1] e＝1のとき

\( e = 1 \) のとき，①は

\( \displaystyle -2cx + y^2 + c^2 = 0 \)

\( \displaystyle ∴ \ y^2 = 2c \left( x – \frac{c}{2} \right) \cdots ② \)

曲線②，焦点 \( F(c, \ 0) \)，\( l：x = 0 \) を \( x \) 軸方向にそれぞれ \( \displaystyle – \frac{c}{2} \) だけ平行移動して，\( c = 2p \) とおくと

\( \color{red}{ y^2 = 4px } \)， \( \color{red}{ F(p, \ 0) } \)， \( \color{red}{ l：x = -p } \)

となり，放物線の式になることが確認できました。

[2] e≠1のとき

\( 0 < e < 1 \) のとき，\( \displaystyle \color{red}{ (1 – e^2) x^2 – 2cx + y^2 + c^2 = 0 } \cdots ① \) は

\( \displaystyle (1 – e^2) \left( x^2 – \frac{2c}{1 – e^2} x \right) + y^2 = -c^2 \)

これを平方完成していくと

\( \displaystyle (1 – e^2) \left( x – \frac{c}{1 – e^2} \right)^2 + y^2 = -c^2 + \frac{c^2}{1 – e^2} \)

\( \displaystyle ∴ \ (1 – e^2) \left( x – \frac{c}{1 – e^2} \right)^2 + y^2 = \frac{(ce)^2}{1 – e^2} \cdots ③ \)

曲線③，焦点 \( F(c, \ 0) \)，\( l：x = 0 \) を \( x \) 軸方向にそれぞれ \( \displaystyle – \frac{c}{1 – e^2} \) だけ平行移動すると

\( \displaystyle \left\{
\begin{align}
& (1 – e^2)x^2 + y^2 = \frac{(ce)^2}{1 – e^2} \\
& 焦点　F \left( \frac{-ce^2}{1 – e^2}, \ 0 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots ④ \\
& 準線　l：x = – \frac{c}{1 – e^2}
\end{align}
\right. \)

(i) 0＜e＜1のとき

\( 0＜e＜1 \) のとき，

\( \displaystyle a = \frac{ce}{1 – e^2} \cdots ⑤ \)， \( \displaystyle b = \frac{ce}{\sqrt{ 1 – e^2 }} \cdots ⑥ \)

とおくと，④から

\( \displaystyle \left\{
\begin{align}
& \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 } \ （a>b>0） \\
& 焦点　\color{red}{ F ( -ae, \ 0 ) } \\
& 準線　\color{red}{ l：x = – \frac{a}{e} }
\end{align}
\right. \)

となり，楕円の式になることが確認できました。

また，このとき，⑤，⑥から \( c \) を消去すると

\( \displaystyle \color{red}{ e = \frac{\sqrt{ a^2 – b^2 }}{a} } \)

(ii) e＞1のとき

\( e>1 \) のとき，

\( \displaystyle a = \frac{ce}{e^2 – 1} \cdots ⑦ \)， \( \displaystyle b = \frac{ce}{\sqrt{ e^2 – 1 }} \cdots ⑧ \)

とおくと，④から

\( \displaystyle \left\{
\begin{align}
& \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \ （a>0, b>0） \\
& 焦点　\color{red}{ F ( ae, \ 0 ) } \\
& 準線　\color{red}{ l：x = \frac{a}{e} }
\end{align}
\right. \)

となり，双曲線の式になることが確認できました。

また，このとき，⑦，⑧から \( c \) を消去すると

\( \displaystyle \color{red}{ e = \frac{\sqrt{ a^2 + b^2 }}{a} } \)