区分求積法の公式と例題

【導出】

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\frac{b-a}{n}=\int_a^b f(x) dx\cdots (＊)\)

(＊)式の右辺が\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx\)ということは、左辺は下図の射線部の面積を表しているとわかります。

この部分の面積を「無数の長方形の和」に近似して求めていきましょう。

閉区間\([a, b]\)における\(f(x)\)を、\(n\)個の長方形に均等に分割すると、その横幅\(\Delta x\)は、\(\Delta x=\displaystyle\frac{b-a}{n}\)となります。

また、左下端が\(x_k\)（\(a≦x_k≦b,\quad 0≦k≦n-1\)）の長方形について考えると、その縦の長さは、\(f\left(a+\displaystyle\frac{b-a}{n}k\right)\)となります。

つまり左下端が\(x_k\)（\(a≦x_k≦b,\quad 0≦k≦n-1\)）の長方形の面積は

\(f\left(a+\displaystyle\frac{b-a}{n}k\right)\cdot\displaystyle\frac{b-a}{n}\)

と書き下すことができます。

ここで、長方形の和が実際の面積に近づくにはどのようにすれば良いでしょうか？横幅が限りなく小さい長方形を詰め込んでいけば、実際の面積に近づいていくと考えましょう。(下図参照)

つまり、\(\Delta x\to 0\)となればよいことが分かります。\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\)で、\(a, b\)が定数であることを考えると、\(\Delta x\to 0 ⇒n\to\infty\)となります。

このとき、横幅が非常に小さい長方形の面積の和は

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\frac{b-a}{n}\)

と書くことができます。これが射線部の面積に等しくなることを考えてあげると

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\frac{b-a}{n}=\int_a^b f(x) dx\cdots (＊)\)

という区分求積法の形が求まることが分かりました。

【例】

たとえば、

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)\cdots①\)

という式の形を見たときに、これを

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{k}{n})^2}}\)

と変形して

\(\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx\cdots②\)

という風に捉えることができるかという点です。

【例】

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+2n}\right)\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle\frac{(1+2+3+\cdots +n)(1^4 +2^4 +3^4+\cdots +n^4)}{(1^2 +2^2 +3^2+\cdots +n^2)(1^3 +2^3+3^3+\cdots +n^3)}\right)\)

【解答】

(1)　\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+an}\right)\)

もとの式を変形していくと

\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+an}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{an}\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\&=&\int_0^a \frac{1}{1+x} dx\\&=&[\log (1+x)]_0^a \\&=&\log (1+a)\end{eqnarray}\)

(2)　\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+\cdots +\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right)\)

もとの式を変形していくと

\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+\cdots +\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-{\frac{n}{k}}^2}\\&=&\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx\\&=&\frac{\pi}{4}\end{eqnarray}\)

【補足】

\(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx\)は、下図の四分円の面積です。

(3)　\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle\frac{(1+2+\cdots +n)(1^4 +2^4+\cdots +n^4)}{(1^2 +2^2 +\cdots +n^2)(1^3 +2^3+\cdots +n^3)}\right)\)

式変形を行います。

\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle\frac{(1+2+\cdots +n)(1^4 +2^4+\cdots +n^4)}{(1^2 +2^2 +\cdots +n^2)(1^3 +2^3+\cdots +n^3)}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle\frac{(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots +\frac{n}{n})(\frac{1^4}{n^4} +\frac{2^4}{n^4}+\cdots +\frac{n^4}{n^4})}{(\frac{1^2}{n^2} +\frac{2^2}{n^2} +\cdots +\frac{n^2}{n^2})(\frac{1^3}{n^3} +\frac{2^3}{n^3}+\cdots +\frac{n^3}{n^3})}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right)\cdot\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^4}{\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^3}\\&=&\frac{\displaystyle\int_0^1 x dx\cdot\displaystyle\int_0^1 x^4 dx}{\displaystyle\int_0^1 x^2 dx\cdot \displaystyle\int_0^1 x^3 dx}\\&=&\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{1}{4}}\\&=&\frac{6}{5}\end{eqnarray}\)