「命題」とは？真偽と逆・裏・対偶をわかりやすく説明してみた

東大塾長の山田です。
このページでは、「命題」とその基本事項、逆・裏・対偶について、順を追ってわかりやすく解説していきます。

命題の分野は、大学受験では頻出問題です。
実際、センター試験ではほぼ毎年命題が大問1つ分出題されています。

このページを最後まで読んで、命題の用語や考え方をしっかりと理解して、命題をマスターしましょう！

1. 命題とは？

命題とは、正しいか正しくないかが明確に決まる文や式のことです。

以下の4つの例で、具体的に解説します。

まず、「① A君は日本人である」は命題です。

これは国籍をチェックすれば、“Yes”か“No”かはっきりわかります。
ですので、「①A君は日本人である」は命題となります。

次の、「② 10000は大きい数字である」は命題ではありません。

なぜなら、何に対して“大きい”のか、わからないからです。
「10000」は、“1”に対しては大きいですが、“100万”に対しては小さいです。
ですので、「② 10000は大きい数字である」という文は、正しいか正しくないか判断できないので、命題ではありません。

次の、「③ 3は1より大きい」は命題です。

これは常に正しいといえるので、命題となります。

では、「④ 1は3より大きい」はどうでしょうか？

これも命題となります。
「1は3より大きい」というのは、間違っています。
正しくないと明確に決まるので、「④ 1は3より大きい」は命題となります。

2. 命題の真偽とは？

命題が正しいとき、その命題は真（しん）であるといいます。
命題が正しくないとき、その命題は偽（ぎ）であるといいます。

先ほどの例では、

• 「3は1より大きい」…真
• 「1は3より大きい」…偽

となります。

3. 命題の仮定と結論

命題「\( p \) ならば \( q \)」を「\( p \Rightarrow q \)」とも書きます。

このとき、\( p \) を仮定、\( q \) を結論といいます。

例えば、

\( \displaystyle \large{ x=3 \Rightarrow x^2=9 } \)

という命題では、「\( x=3 \)」が仮定、「\( x^2=9 \)」が結論となります。

4. 条件と集合の関係

条件 \( p \) を満たすものの全体の集合を \( P \)、条件 \( q \) を満たすものの全体の集合を \( Q \) とします。

命題「\( p \Rightarrow q \)」が真であるとき、条件 \( p \) を満たすものは、必ず条件 \( q \) を満たすことになります。

つまり、\( P \) は \( Q \) に含まれている（\( P \subset Q \)）となります。

また、命題「\( p \Rightarrow q \)」が偽であるとき、\( P \subset Q \) が成り立たないということになります。

つまり、\( P \) の中に、条件 \( q \) を満たさない要素（\( Q \) の外にある要素）があるということになります。

図の色付けた部分（\( P \cap \overline{Q} \)）の、仮定 \( p \) を満たすが、結論 \( q \) を満たさないものを、この命題の反例といいます。

具体的に例を挙げて解説します。

\( x=3 \) のとき、\( x^2=9 \) となるので、この命題は真です。

ここで、仮定「\( x=3 \)」を満たす集合を \( P \) とすると、\( P \) は \( x=3 \) となります。

一方、結論「\( x^2=9 \)」を満たす集合を \( Q \) とすると、\( Q \) は \( x=-3,3 \) となります。

よって、下のようにベン図で表すと、集合 \( P \) が集合 \( Q \) に含まれることがわかります。

仮定「\( n \) は素数である」を満たす集合を \( P \) とすると、\( P \) は \( n=2,3,5,7,11, \cdots \) となります。

一方、結論「\( n \) は奇数である」を満たす集合を \( Q \) とすると、\( Q \) は \( n=1,3,5,7,9, \cdots \) となります。

よって、集合 \( P \) と集合 \( Q \) の関係は下のベン図のようになります。

反例は「\( n=2 \)」となります。

5. 条件の否定とは？

次は「否定」について解説していきます。

5.1 否定の意味と表し方

条件 \( p \) に対して、「\( p \) でない」条件を「\( p \) の否定」といい、\( \overline{p} \) で表します。

例えば、「\( x \) は奇数である」の否定は、「\( x \) は奇数でない」、すなわち「\( x \) は偶数である」となります。

5.2 「かつ」と「または」の否定

「かつ」と「または」の否定についての解説です。

「\( p \) かつ \( q \)」の否定、つまり「 \( \overline{ pかつq } \) 」は「\( \overline{p} \) または \( \overline{q} \)」と同値になります。

「\( p \) または \( q \)」の否定、つまり「 \( \overline{ pまたはq } \) 」は「\( \overline{p} \) かつ \( \overline{q} \)」と同値になります。

これはド・モルガンの法則と同じ考え方です。

関連記事ド・モルガンの法則の解説｜証明と３つの場合

「否定すると、「かつ」と「または」が入れ替わる」と覚えておきましょう。

例えば、「\( x \gt 0 \) かつ \( y ≦ 0 \)」の否定は、「\( x ≦ 0 \) または \( y \gt 0 \)」となります。

5.3 「すべて」と「ある」の否定

「すべて」と「ある」の否定についての解説です。

「すべての \( x \) について \( p \) である」の否定は、「ある \( x \) について \( \overline{ p } \) である」となります。

また、「ある \( x \) について \( p \) である」の否定は、「すべての \( x \) について \( \overline{ p } \) である」となります。

つまり、「『すべて』と『ある』の否定」では、\( p \) と \( \overline{ p } \)・「すべて」と「ある」が入れ替わります。

例えば、
「すべての実数 \( x \) について \( x^2 ≧ 0 \)」の否定は、
「ある実数 \( x \) について \( x^2 \lt 0 \)」となります。

補足を加えておくと、「すべて」と「ある」の否定では、もとの命題とその否定では、必ず真偽が入れ替わります。

つまり、もとの命題が真であるなら、その否定は偽になり、もとの命題が偽であるなら、その否定は真になります。

6. 命題の逆・裏・対偶をわかりやすく解説

次は、命題の「逆」「裏」「対偶」について解説します。

6.1 逆・裏・対偶とは？

命題「\( p \Rightarrow q \)」に対して、

• 「\( q \Rightarrow p \)」を逆
• 「\( \overline{p} \Rightarrow \overline{q} \)」を裏
• 「\( \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \)」を対偶

といいます。

具体的に例を挙げてみます。

となります。

6.2 逆・裏・対偶の真偽

逆・裏・対偶で重要なポイントとして、「命題の真偽とその対偶の真偽は一致する」ということです。

つまり

• 「『\( p \Rightarrow q \)』が真なら、対偶である『\( \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \)』も真」
• 「『\( p \Rightarrow q \)』が偽なら、対偶である『\( \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \)』も偽」

となります。

しかし、命題の真偽とその逆、裏の真偽は必ずしも一致しませんので注意して下さい。

これらのことは、ベン図でも確認することができます。

条件 \( p \) を満たすものの全体の集合を \( P \)、条件 \( q \) を満たすものの全体の集合を \( Q \) とすると

\( \begin{align}
\displaystyle p \Rightarrow q が真 & \Leftrightarrow P \subset Q \\
\\
& \Leftrightarrow \overline{Q} \subset \overline{P} \\
\\
& \Leftrightarrow \overline{q} \subset \overline{p}
\end{align} \)

しかし、\( P \subset Q \) であっても、必ずしも \( Q \subset P \) とは限りません。

したがって、命題の真偽とその逆、裏の真偽は必ずしも一致しません。

また、命題の逆と裏は、対偶の関係になっています。

したがって、ある命題の逆と裏の真偽は一致します。

以上のことを、先ほどの例で確認をしてみましょう。

命題：「\( x=2 \) ならば \( x^2=4 \)」は、\( x=2 \) を \( x^2 \) に代入すると \( x^2=4 \) となるので、真となります。

逆：「\( x^2=4 \) ならば \( x=2 \)」は、\( x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2\) となるので、偽となります。（反例：\( x=-2 \)）

裏：「\( x \neq 2 \) ならば \( x^2 \neq 4 \)」は、\( x=-2 \) のとき \( x^2=4 \) となるので、偽となります。（反例：\( x=-2 \)）

対偶：「\( x^2 \neq 4 \) ならば \( x \neq 2 \)」は、明らかに真です。

したがって

• もとの命題と対偶の真偽が一致
• 逆と裏の真偽が一致

することが確認できました。

7. 命題の重要事項まとめ

さいごに、今回解説したことをすべてまとめておきます。

以上が命題の基本事項と、逆・裏・対偶の解説です。
冒頭でも述べた通り、命題は大学受験で頻出問題です。

命題の意味と考え方をしっかりと理解して、命題をマスターしてくださいね！