数列漸化式の解き方10パターンまとめ

東大塾長の山田です。
このページでは、数学B数列の「漸化式の解き方」について解説します。

今回は漸化式の基本パターンとなる3パターンと，特性方程式を利用するパターンなどの7つを加えた全10パターンを，具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 漸化式とは？

まずは，そもそも漸化式とはなにか？を確認しましょう。

漸化式（ぜんかしき）とは，数列の各項を，その前の項から1通りに定める規則を表す等式のことです。

もう少し具体的にいきますね。

数列 $\left\{ a_n \right\}$ が，例えば次の2つの条件を満たしているとします。

［1］をもとにして，［2］において $n = 1, 2, 3, \cdots$ とすると

$a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

$a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4$

$a_4 = a_3 + 3 = 4 + 3 = 7$

$\cdots \cdots \cdots$

となり，$a_1, \ a_2, \ a_3, \cdots$ の値が1通りに定まります。
このような条件式が 漸化式 です。

それではさっそく、次から漸化式の解き方を解説していきます。

2. 漸化式の基本3パターンの解き方

まずは基本となる3パターンの解説です。

2.1 等差数列の漸化式の解き方

この漸化式は，等差数列で学んだことそのものですね。

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例題をやってみましょう。

$a_{n+1} – a_n = 3$ より，隣り合う2項の差が常に3で一定なので，この数列は公差3の等差数列だとわかりますね！

【解答】

$\color{red}{ a_{n+1} – a_n = 3 }$ より，数列 $\left\{ a_n \right\}$ は初項 $a_1 = -5$，公差3の等差数列であるから

$\color{red}{ a_n } = -5 + (n-1) \cdot 3 \color{red}{ = 3n-8 \cdots 【答】 }$

2.2 等比数列の漸化式の解き方

この漸化式は，等比数列で学んだことそのものですね。

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例題をやってみましょう。

$a_{n+1} = -2a_n$ より，隣り合う2項の比が常に一定なので，この数列は公比－2の等比数列だとわかりますね！

【解答】

$\color{red}{ a_{n+1} = -2a_n }$ より，数列 $\left\{ a_n \right\}$ は初項 $a_1 = 3$，公比－2の等比数列であるから

$\color{red}{ a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} \cdots 【答】 }$

2.3 階差数列の漸化式の解き方

漸化式が $a_{n+1} = a_n + f(n)$（$f(n)$ は $n$ の式）の形のとき，$a_{n+1} – a_n = f(n)$ であるから，$f(n) = b_n$ とすると数列 $\left\{ b_n \right\}$ は $\left\{ a_n \right\}$ の階差数列となります。

したがって

$n ≧ 2$ のとき　$\displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k }$

を利用して数列 $\left\{ a_n \right\}$ の一般項を求めることができます。

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それでは，例題をやってみましょう。

【解答】

条件より

$a_{n+1} – a_n = 2^n – 2n$

よって，数列 $a_n$ の階差数列の第 $n$ 項が $2^n – 2n$ であるから，$n ≧ 2$ のとき

$\begin{align} \displaystyle \color{red}{ a_n } & = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^k – 2k) \\ \\ & = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k – 2 \sum_{k=1}^{n-1} k \\ \\ & = 1 + \frac{2 (2^{n-1} – 1)}{2-1} – 2 \cdot \frac{1}{2} n (n-1) \\ \\ & = 1 + (2^n – 2) – n^2 + n \\ \\ & \color{red}{ = 2^n – n^2 + n – 1 } \cdots ① \end{align}$

初項は $a_1 = 1$ なので，①は $n = 1$ のときにも成り立つ。

したがって　$\color{red}{ a_n = 2^n – n^2 + n – 1 \cdots 【答】 }$

2.4漸化式の基本3パターン解き方まとめ

ここで一度，ここまでの漸化式基本3パターンの解き方をまとめます。

3. $a_{n+1} = pa_n + q$型の解き方

3.1 【特性方程式の利用】$a_{n+1} = pa_n + q$型

特性方程式 を利用して解くパターンの解説をします。
これは具体的に問題を解きながら解説していきます。

【解答・解説】

$a_{n+1} = 3a_n – 4 \cdots ①$　とします。

①の $a_{n+1}$ と $a_n$ を $\alpha$ とおいた式を考えます。

$\color{red}{ \alpha = 3 \alpha – 4 } \cdots ②$

∴　$\alpha = 2 \cdots ③$

①－②から

③より

$\color{red}{ a_{n+1} – 2 = 3 (a_n – 2) }$

ここで，$b_n = a_n – 2$ とおくと

$b_{n+1} = 3b_n$，$b_1 = a_1 – 2 = 1$

よって，$\left\{ b_n \right\}$ は初項1，公比3の等比数列となります。

したがって

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1}$

∴ $b_n = 3^{n-1}$

よって

$a_n – 2 = 3^{n-1}$

∴　$\color{red}{ a_n = 3^{n-1} + 2 \cdots 【答】 }$

途中の①の $a_{n+1}$ と $a_n$ を $\alpha$ とおいた式

これを 特性方程式 とよびます。

この特性方程式を利用して式変形をすることで，漸化式を解くことができます！

3.2 【階差数列の利用】$a_{n+1} = pa_n+f(n)$型

【解答・解説】

$a_{n+1} = 3a_n + 16n \cdots ①$　とする。

①で $n$ を $n+1$ とおくと

$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 16 (n+1) \cdots ②$

②－①から

$\color{red}{ a_{n+2} – a_{n+1} = 3 (a_{n+1} – a_n) + 16 }$

$\color{red}{ a_{n+1} – a_n = b_n }$ とおくと（$\left\{ b_n \right\}$ は $\left\{ a_n \right\}$ の階差数列）

$b_{n+1} = 3b_n + 16$

これを変形すると

$b_{n+1} + 8 = 3 (b_n + 8)$
（特性方程式 $\alpha = 3 \alpha + 16$ より $\alpha = -8$）

$\color{red}{ b_n + 8 = c_n }$ とすると

$c_{n+1} = 3 c_n$

また

$\begin{align} c_1 & = b_1 + 8 \\ & = a_2 – a_1 + 8 \\ & = ( 3 a_1 + 16 \cdot 1 ) – a_1 + 8 \\ & = ( 3 \cdot 4 + 16 ) – 4 + 8 \\ & = 32 \end{align}$

よって，$c_n$ は初項32，公比3の等比数列だから

$c_n = 32 \cdot 3^{n-1}$

したがって

$b_n + 8 = 32 \cdot 3^{n-1}$

∴ $b_n = 32 \cdot 3^{n-1} – 8$

$\left\{ b_n \right\}$ は $\left\{ a_n \right\}$ の階差数列であるから

$n ≧ 2$ のとき

$\begin{align} \displaystyle \color{red}{ a_n } & = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\ \\ & = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(32 \cdot 3^{k-1} – 8 \right) \\ \\ & = 4 + \frac{32 (3^{n-1} – 1)}{3-1} – 8(n-1) \\ \\ & = 4 + 16 (3^{n-1} – 1) – 8n + 8 \\ \\ & \color{red}{ = 16 \cdot 3^{n-1} – 8n – 4 } \cdots ③ \end{align}$

$n = 1$ のとき

$16 \cdot 3^0 – 8 \cdot 1 – 4 = 4$

$a_1 = 4$ であるから，③は $n=1$ のときも成り立つ。

したがって　$\color{red}{ a_n = 16 \cdot 3^{n-1} – 8n – 4 \cdots 【答】 }$

3.3 【指数にnがある場合】$a_{n+1} = pa_n+q^n$型

【解答・解説】

$a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ の両辺を $2^{n+1}$ で割ると

$\displaystyle \color{red}{ \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} } = \frac{3a_n}{2^{n+1}} + 1 \color{red}{ = \frac{3}{2} \cdot \frac{a_n}{2^n} + 1 }$

$\displaystyle \color{red}{ \frac{a_n}{2^n} = b_n }$ とおくと

$\displaystyle b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + 1$

これを変形すると

$\displaystyle b_{n+1} + 2 = \frac{3}{2} (b_n + 2)$
（特性方程式 $\displaystyle \alpha = \frac{3}{2} \alpha + 1$ より $\alpha = -2$）

また

$\displaystyle b_1 + 2 = \frac{a_1}{2^1} + 2 = \frac{4}{2} + 2 = 4$

よって数列 $\left\{ b_n + 2 \right\}$ は初項4，公比 $\displaystyle \frac{3}{2}$ の等比数列だから

$\displaystyle b_n + 2 = 4 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$

∴　$\displaystyle \frac{a_n}{2^n} = 4 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 2$

したがって

$\begin{align} \displaystyle \color{red}{ a_n } & = 2^n \left\{ 4 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 2 \right\} \\ \\ & \color{red}{ = 8 \cdot 3^{n-1} – 2^{n+1} \cdots 【答】 } \end{align}$

3.4 【漸化式が分数の形の場合】$a_{n+1} = \frac{a_n}{pa_n+q}$型

【解答・解説】

$a_1 = 2 > 0$，および漸化式の形から，数列 $\left\{ a_n \right\}$ の各項は正である。

$\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{6a_n + 3}$ の両辺の逆数をとると

$\displaystyle \color{red}{ \frac{1}{a_{n+1}} } = \frac{6a_n + 3}{a_n} \color{red}{ = 6 + \frac{3}{a_n} }$

$\displaystyle \color{red}{ \frac{1}{a_n} = b_n }$ とおくと

$b_{n+1} = 3b_n + 6$

これを変形すると

$\displaystyle b_{n+1} + 3 = 3 (b_n + 3)$
（特性方程式 $\alpha = 3 \alpha + 6$ より $\alpha = -3$）

また

$\displaystyle b_1 + 3 = \frac{1}{a_1} + 3 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$

よって数列 $\left\{ b_n + 3 \right\}$ は初項 $\displaystyle \frac{7}{2}$，公比 $\displaystyle 3$の等比数列だから

$\displaystyle b_n + 3 = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1}$

∴　$\displaystyle b_n = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1} – 3 = \frac{7 \cdot 3^{n-1} – 6}{2}$

したがって

$\displaystyle \color{red}{ a_n = \frac{2}{7 \cdot 3^{n-1} – 6} \cdots 【答】 }$

3.5 【$a_n$が√や累乗の場合】$a_{n+1} = p{a_n}^{q}$型

【解答・解説】

$a_1 = 4 > 0$，および漸化式の形から，数列 $\left\{ a_n \right\}$ の各項は正である。

$\displaystyle a_{n+1} = 2{a_n}^2$ の両辺は正であるから，両辺の2を底とする対数をとると

$\begin{align}  \displaystyle \color{red}{ \log_{2} a_{n+1} } & = \log_{2} 2 {a_n}^2 \\ \\ & = \log_{2} 2 + \log_{2} {a_n}^2 \\ \\ & \color{red}{ = 1 + 2 \log_{2} a_n } \end{align}$

$\displaystyle \color{red}{ \log_{2} a_n = b_n }$ とおくと

$b_{n+1} = 2 b_n + 1$

これを変形すると

$\displaystyle b_{n+1} + 1 = 2 (b_n + 1)$
（特性方程式 $\alpha = 2 \alpha + 1$ より $\alpha = -1$）

また

$\begin{align} \displaystyle b_1 + 1 & = \log_{2} a_1 + 1 \\ & = \log_{2} 4 + 1 \\ & = 2 + 1 \\ & = 3 \end{align}$

よって数列 $\left\{ b_n + 1 \right\}$ は初項3，公比2の等比数列だから

$\displaystyle b_n + 1 = 3 \cdot 2^{n-1}$

∴　$\displaystyle b_n = 3 \cdot 2^{n-1} – 1$

したがって

$\displaystyle \log_{2} a_n = 3 \cdot 2^{n-1} – 1$

∴　$\displaystyle \color{red}{ a_n = 2^{3 \cdot 2^{n-1} – 1} \cdots 【答】 }$

3.6 【$a_n$の係数にnがある場合①】$a_{n+1} = f(n) a_n+q$型

今回の問題では，左辺の$a_{n+1}$ の係数が $n$ で，右辺の $a_n$ の係数が $(n+1)$ でちぐはぐになっています。
そこで，両辺を $n(n+1)$ で割るとうまく変形ができます。

【解答・解説】

$n a_{n+1} = 2(n+1)a_n$ の両辺を $n(n+1)$ で割ると

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1} = 2 \cdot \frac{a_n}{n}$

$\displaystyle \color{red}{ \frac{a_n}{n} = b_n }$ とおくと

$b_{n+1} = 2 b_n$

よって

$\begin{align} \displaystyle b_n & = b_1 \cdot 2^{n-1} = \frac{a_1}{1} \cdot 2^{n-1} \\ \\ & = 2^{n-1} \end{align}$

したがって

$\displaystyle \frac{a_n}{n} = 2^{n-1}$

∴　$\color{red}{ a_n = n \cdot 2^{n-1} \cdots 【答】 }$

3.7 【$a_n$の係数にnがある場合②】$a_{n+1} = f(n) a$型

【解答・解説】

$(n+1) a_n = n a_{n-1}$ の両辺を $(n+1)$ で割ると

$\displaystyle a_n = \frac{n}{n+1} a_{n-1}$

ゆえに

$\begin{align} \displaystyle a_n & = \frac{n}{n+1} a_{n-1} \\ \\ & = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n-1}{n} a_{n-2} \\ \\ & = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1} a_{n-3} \\ \\ & = \cdots \cdots \end{align}$

これを繰り返して

$\begin{align} \displaystyle \color{red}{ a_n } & = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1} \\ & \ \ \ \cdots \ \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} a_1 \\ \\ & = \frac{2}{n+1} \cdot 1 \\ \\ & \color{red}{ = \frac{2}{n+1} } \cdots ① \end{align}$

$a_1 = 1$ より，①は $n=1$ のときも成り立つ。

したがって　$\displaystyle \color{red}{ a_n = \frac{2}{n+1} \cdots 【答】 }$

4. 漸化式の応用問題（3項間・連立・分数形）

漸化式の応用問題として，「隣接3項間の漸化式」・「連立漸化式（$\left\{ a_n \right\}$，$\left\{ b_n \right\}$ 2つの数列を含む漸化式）」があります。

この記事は長くなってしまったので，応用問題については「数列漸化式の解き方応用問題編」の記事で詳しく解説していきます。

関連記事数列漸化式の解き方応用問題編（隣接3項間・連立漸化式）

5. さいごに

以上が漸化式の解き方10パターンの解説です。

まずは等差・等比・階差数列の基礎パターンをおさえて，「$b_{n+1} = pb_n + q$型」に帰着させることを考えましょう。

漸化式を得点源にして，他の受験生に差をつけましょう！