複素数平面の公式まとめ（極形式・回転・ドモアブルの定理）

【例】

　・ $-1 + 2i$ （虚数）
　・$8 \ – \ i$ （虚数）
　・$\sqrt{3} i$ （純虚数）

【証明】

複素数 $\alpha = a + bi$ の $k$ 倍を考えると，$k \alpha = ka + kbi$ と表せる。

図に表すと，下図のようになる。

よって，点 $k \alpha$ は直線 $l$ 上にある。

また，この直線 $l$ は，$\alpha$ の実数倍の複素数を表しているので，上記の公式が成り立つ。

点 $\overline{ \alpha }$ は点 $\alpha$ と実軸に関して対称

点 $– \alpha$ は点 $\alpha$ と原点に関して対称

点 $– \overline{ \alpha }$ は点 $\alpha$ と虚軸に関して対称

【証明】

$z = a + bi$ とすると

$\color{red}{ z \overline{z} } = (a+bi) (a-bi) = a^2 + b^2 \color{red}{ = |z|^2 }$

また，絶対値は原点と点 $z$ との距離であることを考えると，［1］と［2］が成り立つことは明らか。

［2］を用いると

$|\alpha \beta |^2 = \alpha \beta \overline{ \alpha \beta } = \alpha \overline{\alpha} \beta \overline{\beta} = \left( |\alpha| |\beta| \right)^2$

$|\alpha \beta| ≧ 0$，$|\alpha| |\beta| ≧ 0$ なので，

$\color{red}{ |\alpha \beta| = |\alpha| |\beta| }$ （←［3］）

さらに，$\beta \neq 0$ のとき，$\displaystyle \beta \cdot \frac{\alpha}{\beta} = \alpha$ であるから，［3］を用いて

$\displaystyle \left| \beta \cdot \frac{\alpha}{\beta} \right| = |\beta| \cdot \left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = |\alpha|$

$\displaystyle ∴ \ \color{red}{ \left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|} }$ （←［4］）

【証明】

上の図から，2点 $\alpha, \ \beta$ 間の距離は

$\displaystyle \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2}$

また，$\beta – \alpha = (c-a) + (d-b)i$ であるから，絶対値の定義より，2点 $\alpha, \ \beta$ 間の距離は $\color{red}{ |\beta \ – \alpha| }$ となる。

【積の極形式の証明】

$\begin{align} & z_1 z_2 \\ \\ & = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\ \\ & = r_1 r_2 \left\{ ( \cos \theta_1 \cos \theta_2 + i^2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 ) + i ( \cos \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_1 \cos \theta_2 ) \right\} \\ \\ & = r_1 r_2 \left\{ ( \color{blue}{ \cos \theta_1 \cos \theta_2 – \sin \theta_1 \sin \theta_2 } ) + i ( \color{magenta}{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2 } ) \right\} \\ \\ & = r_1 r_2 \left\{ \color{blue}{ \cos ( \theta_1 + \theta_2 ) } + i \color{magenta}{ \sin (\theta_1 + \theta_2 ) } \right\} \end{align}$
（色付き文字部分は加法定理による変形です。）

$\displaystyle ∴ \ \color{red}{ z_1 z_2 = r_1 r_2 \left\{ \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2) \right\} }$

また

$\displaystyle |z_1 z_2| = r_1 r_2 = |z_1| |z_2|$

$\displaystyle \arg (z_1 z_2) = \theta_1 + \theta_2 = \arg z_1 + \arg z_2$

【商の極形式の証明】

$\begin{align} \displaystyle & \frac{z_1}{z_2} \\ \\ & = \frac{ r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) }{ r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) } \\ \\ & = \frac{ r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) }{ r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) } \color{green}{ \times \frac{\cos \theta_2 – i \sin \theta_2}{\cos \theta_2 – i \sin \theta_2} } \\ \\ & = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{ \left\{ ( \cos \theta_1 \cos \theta_2 – i^2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 ) + i ( \sin \theta_1 \cos \theta_2 – \cos \theta_1 \sin \theta_2 ) \right\} }{ \cos ^2 \theta_2 + \sin ^2 \theta_2 } \\ \\ & = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{ \left\{ ( \color{blue}{ \cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 } ) + i ( \color{magenta}{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 – \cos \theta_1 \sin \theta_2 } ) \right\} }{ 1 } \\ \\ & = \frac{r_1}{r_2} \left\{ \color{blue}{ \cos(\theta_1 – \theta_2) } + i \color{magenta}{ \sin (\theta_1 – \theta_2) } \right\} \end{align}$
（3行目緑文字の変形は有理化，色付き文字部分は加法定理による変形です。）

$\displaystyle ∴ \ \color{red}{ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left\{ \cos(\theta_1 – \theta_2) + i \sin (\theta_1 – \theta_2) \right\} }$

また

$\displaystyle \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{r_1}{r_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$\displaystyle \arg \left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \theta_1 – \theta_2 = \arg z_1 – \arg z_2$

【証明】

$z = \cos \theta + i \sin \theta$ を掛けると，絶対値は1のままで，偏角は $\theta$ だけ回転する。よって

$\begin{align} (\cos \theta + i \sin \theta )^2 & = \cos (\theta + \theta) + i \sin (\theta + \theta) \\ & = \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta \end{align}$

$\begin{align} (\cos \theta + i \sin \theta )^3 & = (\cos \theta + i \sin \theta )^2 (\cos \theta + i \sin \theta ) \\ & = (\cos 2 \theta + i \sin 2 \theta ) (\cos \theta + i \sin \theta ) \\ & = \cos (2 \theta + \theta) + i \sin (2 \theta + \theta) \\ & = \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta \end{align}$

となり，一般に，自然数 $n$ について次の等式が成り立つ。

$\displaystyle \color{red}{ ( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta } \cdots ①$

0でない複素数 $z$ に対して $z^0 = 1$ と定めると，①は $n = 0$ のときも成り立つ。

さらに，$\displaystyle z^{-n} = \frac{1}{z^n}$ と定めると，①より

$\begin{align} \displaystyle (\cos \theta + i \sin \theta )^{-n} & = \frac{1}{(\cos \theta + i \sin \theta )^n} \\ \\ & = \frac{1}{\cos n \theta + i \sin n \theta } \\ \\ & = \cos ( n \cdot (-\theta) ) + i \sin ( n \cdot (-\theta) ) \\ \\ & = \cos (-n \theta) + i \sin (-n \theta) \end{align}$

よって，ド・モアブルの定理が成り立つ。

【証明】

$z^n = 1$ から　$|z|^n = 1$

よって　$|z| = 1$

$z = \cos \theta + i \sin \theta$ とおくと

$z^n = (\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$

したがって

$\cos n \theta + i \sin n \theta = 1$

実部と虚部を比較して，

$\cos n \theta = 1, \ \sin n \theta = 0$

よって　$n \theta = 2 \pi \times k$

すなわち　$\displaystyle \theta = \frac{2 k \pi}{n}$ （$k$ は整数）

$\displaystyle z_k = \cos \frac{2k \pi}{n} + i \sin \frac{2k \pi}{n}$

とおくと，$(z_k)^n = 1$ が成り立ち，$z_k$ は1の $n$ 乗根となる。

また，$z_{n+k}$ と $z_k$ の偏角は $2 \pi$ だけ異なり，絶対値はともに1なので，$z_{n+k} = z_k$ が成り立つ。

$z_k$ のうち互いに異なるものは $z_0, z_1, z_2, \cdots , z_{n-1}$ の $n$ 個である。