剰余の定理まとめ(公式・証明・問題)

東大塾長の山田です。
このページでは、剰余の定理」について解説します

今回は「剰余の定理」の公式と証明に加え、「剰余の定理と因数定理の違い」についても解説しています。
さいごには剰余の定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで勉強の参考にしてください!

1. 剰余の定理とは?

それではさっそく剰余の定理について解説していきます。

1.1 剰余の定理(公式)

剰余の定理

整式 \( P(x) \) を1次式 \( (x- \alpha) \) で割ったときの余りは \( \color{red}{ P(\alpha) } \)

剰余の定理は、余りを求めるときにとても便利な定理です。

 

具体例は次の通りです。

【例】

整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を

  • \( x – \color{red}{ 1 } \) で割った余りは \( P(1) = \color{red}{ 1 }^3 – 3 \cdot \color{red}{ 1 }^2 + 7 = 4 \)
  • \( x + 2 \) で割った余りは \( P(-2) = (-2)^3 – 3 \cdot (-2)^2 + 7 = -13 \)

このように、剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができます

 

1.2 剰余の定理の証明

なぜ剰余の定理が成り立つのか、証明をしていきます。

剰余の定理の証明はとてもシンプルです。

証明

整式 \( P(x) \) を1次式 \( (a- \alpha) \) で割ったときの商を \( Q(x) \),余りを \( R \) とすると

\( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + R \)

と表すことができます(∵ 割り算の基本等式)。

この等式の両辺に \( x= \alpha \) を代入すると

\( \begin{align}
\color{red}{ P(\alpha) } & = (\alpha – \alpha) Q(\alpha) + R \\
\\
& = 0 \times Q(\alpha) + R \\
\\
& \color{red}{ = R }
\end{align} \)

よって、\( \color{red}{ P(\alpha) = R } \) となり、証明ができました。

 

2. 【補足】割る式の1次の係数が1でない場合

割る式の \( x \) の係数が1でない場合の余りは、次のようになります。

補足

整式 \( P(x) \) を1次式 \( (ax+b) \) で割ったときの余りは \( \displaystyle P \left( – \frac{b}{a} \right) \)

具体例は次の通りです。

【例】

整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を \( 2x + 1 \) で割った余り \( R \) は

\( \displaystyle R = P \left( – \frac{1}{2} \right) = \frac{49}{8} \)

 

3. 【補足】剰余の定理と因数定理の違い

「剰余の定理と因数定理の違いがわからない…」と混同されてしまうことがあります。

 

剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理です

余りが0ということは、

\( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + 0 \)

ということなので、両辺に \( x= \alpha \) を代入すると

\( P(\alpha) = 0 \)

が得られます。

また、「\( x- \alpha \) で割ると余りが0」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) で割り切れる」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) を因数にもつ」ということです。

したがって、因数定理

因数定理

整式 \( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ \( \Leftrightarrow \ P(\alpha) = 0 \)

が成り立ちます。

 

3. 剰余の定理を利用する問題

それでは、剰余の定理を利用する問題に挑戦してみましょう。

3.1 例題1

例題1

整式 \( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 27 \) は \( x+3 \) で割り切れ,\( x-1 \) で割ると3余る。
このとき,定数 \( a, \ b \) の値をそれぞれ求めよ。

【解答】

\( P(x) \) が\( x+3 \) で割り切れるので、剰余の定理より
 \( P(-3)=0 \)
すなわち \( 3a-b=0 \ \cdots ① \)

\( P(x) \) が\( x-1 \) で割ると3余るので、剰余の定理より
 \( P(1)=3 \)
すなわち \( a+b=25 \ \cdots ② \)

①,②を連立して解くと

\( \displaystyle \color{red}{ a = – \frac{45}{4}, \ b = – \frac{75}{4} \ \cdots 【答】 } \)

 

3.2 例題2

例題2

整式 \( P(x) \) を \( x-4 \) で割ると余りは10,\( x+1 \) で割ると余りは5となる。
このとき,\( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \) で割ったときの余りを求めよ。

  1. \( x^2 – 3x – 4 = (x-4)(x+1) \) なので、\( P(x) \) を \( (x-4)(x+1) \) で割ったときの余りを考えればよい。
  2. また、2次式で割ったときの余りは1次式以下になるこれ重要なポイントです)。
    よって、余りは \( \color{red}{ ax+b } \) とおける。

この2つの方針で考えていきます。

【解答】

\( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \),すなわち\( (x-4)(x+1) \) で割ったときの商を \( Q(x) \),余りを \( ax+b \) とすると
 \( \color{red}{ P(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + ax + b } \)

条件から、剰余の定理より
 \( P(4) = 10 \)
すなわち \( 4a+b=10 \ \cdots ① \)

また、条件から、剰余の定理より
 \( P(-1) = 5 \)
すなわち \( -a+b=5 \ \cdots ② \)

①,②を連立して解くと

 \( a=1, \ b=6 \)

よって、求める余りは \( \color{red}{ x+6 \ \cdots 【答】 } \)

 

今回の例題2ように、剰余の定理の問題の基本は「まず割り算の等式をたてる」ことです

 

4. 剰余の定理まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

剰余の定理まとめ

  1. 整式 \( P(x) \) を1次式 \( (a- \alpha) \) で割ったときの余りは \( \color{red}{ P(\alpha) } \)
  2. 整式 \( P(x) \) を1次式 \( (ax+b) \) で割ったときの余りは \( \displaystyle P \left( – \frac{b}{a} \right) \)

・剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができる。

・剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理。

以上が剰余の定理についての解説です。

この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています!

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