対数関数のグラフと書き方【数学Ⅱ】

東大塾長の山田です。
このページでは、「対数関数（log）のグラフ」について解説します。

対数関数のグラフの形や性質、書き方について丁寧に解説しています。
また、対数関数のグラフの平行移動・対称移動についても解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 対数関数のグラフと性質

まずは対数関数 \( y = \log_{a} x \) のグラフの形や性質など、基本的なことを解説していきます。

1.1 対数関数のグラフの形と性質まとめ

対数関数 \( y = \log_{a} x \) のグラフの形は、底の値によって異なり、2パターンに分けられます。

\( a>1 \)（底が1より大きい）のときは右上がりの曲線（上の左図），\( 0 < a < 1 \)（底が0より大きく1より小さい）のときは右下がりの曲線（上の右図）になります。

また、グラフは点 \( (1, \ 0) \)，\( (a, \ 1) \) を通り、\( y \) 軸がグラフの漸近線になります。

対数関数の性質まとめ

定義域は正の数全体，値域は実数全体である。
グラフは点 \( (1, \ 0) \)，\( (a, \ 1) \) を通る。
\( y \) 軸がグラフの漸近線になる。
\( a>1 \) のとき，\( y = \log_{a} x \) は増加関数である。
　\( 0 < p < q \ \Leftrightarrow \ \log_{a} p < \log_{a} q \)

\( 0 < a < 1 \) のとき，\( y = \log_{a} x \) は減少関数である。
　\( 0 < p < q \ \Leftrightarrow \ \log_{a} p > \log_{a} q \)

1.2 指数関数と対数関数

対数関数 \( y = \log_{a} x \) のグラフは，指数関数 \( y = a^x \) のグラフと，\( y = x \) に関して対称になります。

\( \color{red}{ y = \log_{2} x } \) のグラフを例に考えます。

対数の定義より

\( \color{red}{ y = \log_{2} x } \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{ x = 2^y } \)

ここで、\( \color{red}{ x = 2^y } \) と指数関数 \( \color{blue}{ y = 2^x } \) は、\( x \) と\( y \) が入れ替わったものです。

よって、点 \( P(a, \ b) \) が \( \color{blue}{ y = 2^x } \) のグラフ上にあるとき，点 \( Q(b, \ a) \) は \( \color{red}{ y = \log_{2} x } \) のグラフ上にあります。

2点P，Qは直線 \( \color{green}{ y=x } \) に関して対称であるから，\( \color{red}{ y = \log_{2} x } \) のグラフと \( \color{blue}{ y = 2^x } \) のグラフは直線 \( \color{green}{ y=x } \) に関して対称となります・

2. 対数関数のグラフの書き方

対数関数のグラフの書き方は、次の手順でかいていきます。

対数関数のグラフの書き方

対数関数 \( y = \log_{a} x \) のグラフをかく手順は

点 \( (1, \ 0) \) を打つ。
点 \( (a, \ 1) \) を打つ。
\( y \) 軸をグラフの漸近線として，①・②の点を通る曲線をかく。

この手順で対数関数 \( \color{red}{ y = \log_{3} x } \) のグラフをかいてみましょう。

【①点 \( (1, \ 0) \) を打つ】

まずは点 \( (1, \ 0) \) に点を打ちます。

【②点 \( (a, \ 1) \) を打つ】

\( y = \log_{3} x \) の底は3で、\( x = 3 \) のとき \( y = 1 \) となるので、点 \( (3, \ 1) \) と通ります。この点を打ちます。

【③ \( y \) 軸をグラフの漸近線として，①・②の点を通る曲線をかく】

さいごに、\( y \) 軸を漸近線として、①・②の2点を通るなめらかな曲線をかきます。このかき方の要領は、2次関数のグラフと同じです。

これで完成です！

3. 対数関数のグラフの平行移動・対称移動

さいごに応用編として、対数関数のグラフの平行移動・対称移動についても解説をします。

3.1対数関数のグラフの平行移動・対称移動まとめ

対数関数 \( y = \log_{a} x \) のグラフの平行移動・対称移動は次のようになります。

\( y = \log_{a} x \) のグラフの平行移動・対称移動

\( x \) 軸方向に \( p \)，\( y \) 軸方向に \( q \) だけ平行移動\( \cdots \ y = \log_{a} (x – p) + q \)
\( x \) 軸に関して対称移動\( \displaystyle \cdots \ y = \ – \log_{a} x = \log_{\frac{1}{a}} x \)
\( y \) 軸に関して対称移動\( \cdots \ y = \log_{a} (-x) \)
原点に関して対称移動\( \displaystyle \cdots \ y = \ – \log_{a} (-x) = \log_{\frac{1}{a}} (-x) \)

考え方は \( y = f(x) \) のグラフの平行移動・対称移動と同様です！

3.2対数関数のグラフの平行移動・対称移動の問題

例題

次の関数のグラフをかけ。また，関数 \( y = \log_{2} x \) のグラフとの位置関係を述べよ。

　(1) \( y = \log_{2} (x+1) \)
　(2) \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \)
　(3) \( y = \log_{2} (2x \ – 4) \)

【解答】

(1) \( y = \log_{2} (x+1) = \color{red}{ \log_{2} \{ x \ – (-1) \} } \)

したがって、\( y = \log_{2} (x+1) \) のグラフは、

\( y = \log_{2} x \) のグラフを\( x \) 軸方向に－1だけ平行移動したもの。

(2) 底の変換公式を利用して、底を2にします。

　\( \begin{align}
y = \log_{\frac{1}{2}} x & = \color{red}{ \frac{ \log_{2} x }{ \log_{2} \frac{1}{2} } } \\
\\
& = \frac{ \log_{2} x }{ \log_{2} 2^{-1} } \\
\\
& = \ – \log_{2} x
\end{align} \)

したがって、\( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) のグラフは、

\( y = \log_{2} x \) のグラフを\( x \) 軸に関して対称移動したもの。

(3) \( 2x \ – 4 = 2 (x \ – 2) \) より、積の対数の性質を利用して、右辺を分解します。

　\( \begin{align}
y = \log_{2} (2x \ – 4) & = \color{red}{ \log_{2} 2 (x \ – 2) } \\
\\
& = \color{red}{ \log_{2} 2 + \log_{2} (x \ – 2) } \\
\\
& = \log_{2} (x \ – 2) + 1
\end{align} \)

したがって、\( y = \log_{2} (2x \ – 4) \) のグラフは、

\( y = \log_{2} x \) のグラフを\( x \) 軸方向に2，\( y \) 軸方向に1だけ平行移動したもの。