双曲線の知識まとめ（焦点・漸近線・方程式・媒介変数表示・接線公式）

東大塾長の山田です。
このページでは、「双曲線」について解説します。

今回は双曲線の基本事項（焦点・方程式・漸近線）から接線の公式とその導出，媒介変数表示まですべて解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 双曲線の定義と方程式

まずは双曲線の定義と方程式について解説していきます。

1.1 双曲線の定義

数学では，双曲線は次のように定義されています。

放物線の定義

「2定点F，F’からの距離の差が一定である点Pの軌跡」を 双曲線 という。
また，点F，F’を焦点という。

楕円が「2焦点からの距離の和」だったのに対し，双曲線は「2焦点からの距離の差」となります。

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1.2 双曲線の方程式［標準形］

まずは双曲線の方程式と性質をまとめます。

双曲線の方程式と基本事項

双曲線　 $\displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 }$ $（a>0, b>0）$ ［標準形］

中心：原点，頂点：2点 $(a, \ 0)$ ， $(-a, \ 0)$
焦点： $F(c, \ 0)$ ， $F’(-c, \ 0)$ $\displaystyle （c = \sqrt{a^2 + b^2}）$
双曲線は $x$ 軸， $y$ 軸，原点に関して対称
漸近線：2直線 $\displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0$ ， $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$
$\displaystyle \left( あるいは \ \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right)$
双曲線の任意の点Pから2つの焦点までの距離の差は一定 $（|PF – PF’| = 2a）$

上図のように， $F(c, \ 0)$ ， $F’(-c, \ 0)$ を焦点とします。

双曲線上の点を $P(x, \ y)$ とすると， $|PF – PF’| = 2a$ より

$PF – PF’ = \pm 2a$

$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2 + y^2} – \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \pm 2a$

$\displaystyle ∴ \ \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \pm 2a + \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$

両辺を2乗して

$\displaystyle (x-c)^2 + y^2 = 4a^2 \pm 4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2$

これを整理すると

$\displaystyle -a^2 – cx = \pm a \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$

さらに両辺を2乗して整理すると

$\displaystyle (c^2 – a^2)x^2 – a^2 y^2 = a^2 (c^2 – a^2)$

$c>a>0$ であるから， $\displaystyle \sqrt{c^2 – a^2} = b$ とおくと

$\displaystyle b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2$

両辺を $a^2 b^2$ で割ると

$\displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \cdots ①$

が導かれます。

この①式を，双曲線の方程式の 標準形 といいます。

双曲線①と $x$ 軸との2つの交点 $A(a, \ 0)$ ， $A’(-a, \ 0)$ を双曲線の頂点といい，直線AA’を主軸といいます。

また， $\displaystyle \sqrt{c^2 – a^2} = b$ と $c>0$ より， $\displaystyle \color{red}{ c = \sqrt{a^2 + b^2} }$ となります。

1.3 双曲線の漸近線

続いて，漸近線について詳しく解説していきます。

双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ①$ について， $|x|$ の値が大きくなるときについて考えます。

第1象限に関して，①を $y$ について解くと

$\displaystyle y = \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 }$

また

$\displaystyle \frac{b}{a} x > \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \cdots ②$

であるから，曲線は直線 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$ より下にあります。

②の左辺から右辺を引いた差を $d$ とすると

$\begin{align} \displaystyle d & = \frac{b}{a} x \ – \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \\ \\ & = \frac{b}{a} \left( x \ – \sqrt{ x^2 – a^2 } \right) \\ \\ & = \frac{\left( x – \sqrt{ x^2 – a^2 } \right) \left( x + \sqrt{ x^2 – a^2 } \right)}{a \left( x + \sqrt{ x^2 – a^2 } \right)} \\ \\ & = \frac{ab}{x + \sqrt{ x^2 – a^2 }} \end{align}$

この $x$ を限りなく大きくすると，分母は限りなく大きくなるため， $d$ は限りなく $0$ に近づきます。

したがって，第1象限の双曲線上の点 $(x, \ y)$ は，原点から遠ざかるにつれ，限りなく直線 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$ に近づくことになります。

双曲線①の対称性から，第3象限第3象限上の点 $(x, \ y)$ は， $|x|$ が限りなく大きくすると，直線 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$ に限りなく近づきます。

第2，第4象限においては，直線 $\displaystyle y = – \frac{b}{a} x$ に限りなく近づきます。

これらの2直線 $\displaystyle \color{red}{ y = \frac{b}{a} x }$ ， $\displaystyle \color{red}{ y = – \frac{b}{a} x }$ を，双曲線①の 漸近線 といいます。

2直線 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$ ， $\displaystyle y = – \frac{b}{a} x$ を変形した式

$\displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0$ ， $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$

で表す場合もあります。

双曲線の漸近線

双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ の漸近線は

$\displaystyle \color{red}{ y = \frac{b}{a} x }$ ， $\displaystyle \color{red}{ y = – \frac{b}{a} x }$

$\displaystyle \left( \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right)$

1.4 双曲線の例題

ここで、ここまでの内容の確認として，双曲線の基本問題をやってみましょう。

例題

双曲線 $9x^2 – 16y^2 = 144$ の頂点と焦点，漸近線を求めよ。

【解答】

双曲線の式 $9x^2 – 16y^2 = 144$ の両辺を144で割って，「＝1」の形（標準形）に直すと

$\displaystyle \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \ \Leftrightarrow \ \color{red}{ \frac{x^2}{4^2} – \frac{y^2}{3^2} = 1 }$

よって，頂点は　 $(4, \ 0) , \ (-4, \ 0) \color{red}{ \cdots 【答】 }$

$\displaystyle \sqrt{ 4^2 + 3^2 } = 5$ より，

焦点は　 $(5, \ 0) , \ (-5, \ 0) \color{red}{ \cdots 【答】 }$

漸近線は，2直線 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x, \ y = – \frac{3}{4} x \color{red}{ \cdots 【答】 }$

（または，2直線 $\displaystyle \frac{x}{4} – \frac{y}{3} = 0, \ \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 0$ ）

【補足】

漸近線の答え方は， $\displaystyle \color{red}{ y = \pm \frac{3}{4} x }$ $\displaystyle \left( あるいは \ \color{red}{ \frac{x}{4} \pm \frac{y}{3} = 0 } \right)$ と答えてもOKです。

1.5 焦点がy軸上にある双曲線

ここまで解説してきた標準形の双曲線は，焦点が $x$ 軸上にありました。

焦点が $y$ 軸上にある双曲線の方程式についても，ここまでの解説と同様に考えると求めることができます。

焦点がy軸上にある双曲線

　 $\displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 }$ $（a>0, b>0）$

中心：原点，頂点：2点 $(0, \ b)$ ， $(0, \ -b)$
焦点： $F(0, \ c)$ ， $F’(0, \ -c)$ $\displaystyle （c = \sqrt{a^2 + b^2}）$
双曲線は $x$ 軸， $y$ 軸，原点に関して対称
漸近線：2直線 $\displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0$ ， $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$
$\displaystyle \left( あるいは \ \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right)$
双曲線の任意の点Pから2つの焦点までの距離の差は一定 $（|PF – PF’| = 2b）$

焦点が $y$ 軸上にある双曲線は，双曲線の標準形①式の $x$ と $y$ を入れ替えたものです。

2. 双曲線の接線

続いて，双曲線の接線の公式について解説していきます。

2.1 双曲線の接線の公式

双曲線の接線の方程式

双曲線上の点 $(x_1, \ y_1)$ における接線の方程式は

$\displaystyle ① \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ \color{red}{ \rightarrow \ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 }$

$\displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \ \color{red}{ \rightarrow \ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = -1 }$

なぜこのような式になるのか，次のセクションで証明します。
証明は「判別式の利用」と「微分の利用（数Ⅲ）」の2通りで証明することができます。
（証明は①の場合のみやっていきます。②は符号が変わるだけです。）

2.2 双曲線の接線公式の証明①（判別式の利用）

双曲線と直線が接するということは，双曲線と直線の連立方程式から $x$ だけの2次方程式を導き，その方程式の判別式が $D = 0$ となればよいわけです。
これを利用して，接線の方程式を導きます。

【証明】

双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ①$ の，傾き $m$ の接線の方程式を

$y = mx + n \cdots ②$

とし，接点の座標を $(x_1, \ y_1)$ とする。

②を①に代入して， $x$ について整理すると

$\displaystyle (b^2 – a^2 m^2) x^2 – 2a^2 mnx – ( a^2 n^2 + a^2 b^2 ) = 0 \cdots ③$

②の直線が①の放物線に接する条件は，③の2次方程式の判別式 $D$ が $D = 0$ のときであるから

$\displaystyle \frac{D}{4} = (a^2 mn)^2 + (b^2 – a^2 m^2) (a^2 n^2 + a^2 b^2) = 0$

$\displaystyle ∴ \ a^2 b^4 – a^4 b^2 m^2 = – a^2 b^2 n^2$

両辺を $a^2 b^2$ で割って

$b^2 – a^2 m^2 = – n^2 \cdots ④$

このとき，③の解（重解）は

$\displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{b^2 – a^2 m^2}$

これに④を代入すると

$\displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{n^2} = – \frac{a^2 m}{n} \cdots ⑤$

⑤を②に代入すると

$\begin{align} \displaystyle y_1 & = mx_1 + n \\ \\ & = – \frac{a^2 m^2}{n} + n \\ \\ & = \frac{n^2 – a^2 m^2}{n} \end{align}$

これに④を代入すると

$\displaystyle y_１＝- \frac{b^2}{n}$

よって， $y_1 \neq 0$ のとき

$\displaystyle n = – \frac{b^2}{y_1}$

これを⑤に代入すると

$\displaystyle x_1 = \frac{a^2 m y_1}{b^2}$

$\displaystyle ∴ \ m = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$

$\displaystyle m = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$ ， $\displaystyle n = – \frac{b^2}{y_1}$ を②に代入して

$\displaystyle y = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} x – \frac{b^2}{y_1}$

これを整理すると，接線の方程式は

$\displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 }$

さらに， $y_1 = 0$ のとき $x_1 = \pm a$ であり，接線の方程式は $x = \pm a$ となるので， $y_1 = 0$ のときも成り立つ。

双曲線の式が $\displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$ の場合についても，同様に証明することができます。

2.3 双曲線の接線公式の証明②（微分の利用）

接線の公式は，数Ⅲで学習する微分を利用しても証明することができます。

【証明】

双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ の点 $(x_1, \ y_1)$ における接線の方程式を求める。

この接線の方程式は

$\color{red}{ y \ – y_1 = y’ (x \ – x_1) }$

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ の両辺を $x$ について微分すると

$\displaystyle \frac{2x}{a^2} – \frac{2y}{b^2} \cdot y’ = 0$

ゆえに， $y \neq 0$ のとき　 $\displaystyle y’ = \frac{b^2 x}{a^2 y}$

よって，点 $(x_1, \ y_1)$ における接線の方程式は， $y_1 \neq 0$ のとき

$\displaystyle \color{red}{ y \ – y_1 = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} (x \ – x_1) }$

両辺に $\displaystyle \frac{y_1}{b^2}$ を掛けて

$\displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = \frac{{x_1}^2}{a^2} – \frac{{y_1}^2}{b^2} \cdots ①$

点 $(x_1, \ y_1)$ は双曲線上の点であるから

$\displaystyle \frac{{x_1}^2}{a^2} – \frac{{y_1}^2}{b^2} = 1 \cdots ②$

よって，①に②を代入して，接線の方程式は

$\displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1$

さらに， $y_1 = 0$ のとき $x_1 = \pm a$ であり，接線の方程式は $x = \pm a$ となるので， $y_1 = 0$ のときも成り立つ。

したがって，双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ の点 $(x_1, \ y_1)$ における接線の方程式は

$\displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 }$

双曲線の式が $\displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$ の場合についても，同様に証明することができます。

3. 双曲線の媒介変数表示

双曲線の媒介変数表示

双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ の媒介変数表示は

$\color{red}{ \begin{cases} \displaystyle x = \frac{a}{\cos \theta} \\ \\ \displaystyle y = b \tan \theta \end{cases} }$

双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$ の媒介変数表示は

$\color{red}{ \begin{cases} \displaystyle x =a \tan \theta \\ \displaystyle y = \frac{b}{\cos \theta} \end{cases} }$

三角関数の相互関係より　 $\displaystyle \tan ^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos ^2 \theta}$

$\displaystyle ∴ \ \frac{1}{\cos ^2 \theta} – \tan ^2 \theta = 1$

この式に着目して， $\displaystyle \frac{1}{\cos \theta} = x$ ， $\displaystyle \frac{y}{b} = \tan \theta$ とおくと，点 $\displaystyle P \left( \frac{a}{\cos \theta}, \ b \tan \theta \right)$ は双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上を動く点を表すことがわかります。

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ちなみに， $\theta$ は，下の図のように，双曲線上の点を $P(x, \ y)$ から， $x$ 軸に垂線PHを下ろし，このHから，Oを中心・半径を $a$ とする円に接線を引いたときの接点をTとし，この動径OTの表す角が $\theta$ となります。

補足

ある曲線の式の $x$ と $y$ を，それぞれ変数 $t$ の関数として表すことを 媒介変数表示（またはパラメータ表示）といいます。

また， $t$ を 媒介変数（またはパラメータ）といいます。

4. 双曲線の知識まとめ

さいごに，今回の内容をもう一度整理します。

双曲線の知識まとめ

【焦点が $x$ 軸上にある双曲線】

・方程式：　　　 $\displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 }$

・接線公式：　　 $\displaystyle \ \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 }$

・媒介変数表示： $\color{red}{ \begin{cases} \displaystyle x = \frac{a}{\cos \theta} \\ \\ \displaystyle y = b \tan \theta \end{cases} }$

【焦点が $y$ 軸上にある双曲線】

・方程式：　　　 $\displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 }$

・接線公式：　　 $\displaystyle \ \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = -1 }$

・媒介変数表示： $\color{red}{ \begin{cases} \displaystyle x =a \tan \theta \\ \displaystyle y = \frac{b}{\cos \theta} \end{cases} }$

以上が双曲線の解説です！

3件のコメント

双曲線の媒介変数表示ですが　図形におけるｂはどの部分になるのでしょうか　？

返信

直線x=aと双曲線の漸近線の第1象限での交点のy座標です.
イメージとしては、4点(±a,±b)(複号任意)を頂点とする長方形があり、この長方形の対角線を延ばした直線が漸近線で２頂点がちょうど(±a,0)で長方形に接するような双曲線が(x/a)²-(y/b)²=1…(※)と認識しておくといいと思います.(絵を描いてみるとわかりやすい)
また、(※)は直角双曲線x²-y²=1…(※※)(a=b=1の場合)をx軸方向にa倍、y軸方向にb 倍に拡大または縮小(操作P)したものですので、(※※)における媒介変数表示を図形的に考えて(1/cos θ,tanθ)の対応を理解しておけば、あとはそれを操作Pにより拡大または縮小するだけで(※)は得られますのでイメージし易いかと思います.