ベクトルの内積の全てを超わかりやすくまとめた(意味・公式・成分計算)

東大塾長の山田です。
このページでは、「ベクトルの内積」について解説します

今回はベクトルの内積の定義や公式はもちろん,内積を用いることのメリットも解説をしているので,より深く内積が理解できます。
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 内積とは?

まずは,内積とは何か?内積の定義を確認しましょう。

1.1 ベクトルの内積の定義

ベクトルの内積

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a }, \ \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。このとき

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta } } \)

を \( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) の内積とよぶ。

\( \vec{ a } = \vec{ 0 } \) または \( \vec{ b } = \vec{ 0 } \) のときは,\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \) となります。

注意

内積 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \) の「\( \cdot \)」は省略してはいけない(\( \vec{ a } \ \vec{ b } \) としてはいけない)。

 

1.2 内積と成分

ベクトルの内積は,成分を用いると次のように表されます。

内積と成分

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 } } \)

成分による内積の公式は,定義と余弦定理から導出できます。

【証明】

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = \overrightarrow{ OA } \),\( \vec{ b } = \overrightarrow{ OB } \) のなす角を \( \theta \) とすると,\( \angle AOB = \theta \) である。

\( \triangle OAB \) に余弦定理を適用すると

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2OA \times OB \times \cos \theta \cdots ① \)

\( AB = |\vec{ b } – \vec{ a }|, \ OA = |\vec{ a }|, \ OB = \vec{ b } \) であるから,①は

\( |\vec{ b } – \vec{ a }|^2 = |\vec{ a }|^2 + |\vec{ b }|^2 – 2 |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta \)

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) とすると

\( ( b_1 – a_1 )^2 + ( b_2 – a_2 )^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 – 2 |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta \)

両辺を整理すると

\( |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 \)

したがって,内積の定義 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \) より

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 } } \)

 

2. 内積の求め方(問題)

具体的に,内積を求める問題をやってみましょう!

2.1 定義による内積の求め方

例題1

\( |\vec{ a }| = 2, \ |\vec{ b }| = 5 \) で,\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角が60°のとき,内積 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } \) を求めよ。

【解答】

 \( \begin{align}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } & = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 60^\circ \\
\\
\displaystyle & = 2 \times 5 \times \frac{1}{2} \\
\\
& = \color{red}{ 5 \cdots 【答】}
\end{align} \)

 

2.2 成分による内積の求め方

例題2

\( \vec{ a } = (1, \ 2), \ \vec{ b } = (3, \ 1) \) のとき,内積 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } \) を求めよ。

【解答】

 \( \begin{align}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } & = 1 \times 3 + 2 \times 1 \\
\\
& = \color{red}{ 5 \cdots 【答】}
\end{align} \)

 

3. 内積を定義する意味

3.1 ベクトルのなす角の公式

ここまで内積の求め方について解説をしてきましたが,そもそもなぜ内積というものをつくったのか?定義したのか?

 

・・・・・

 

その答えは,内積はいろいろ使い道があって便利だから!です。

便利な使い道の1つとして,例えば,内積を使うと2つのベクトルのなす角を簡単に求められることが挙げられます。

ベクトルのなす角の公式

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とすると

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \ \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

【証明】

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とする。

内積の定義

\( \begin{cases}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \\
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2
\end{cases} \)

より,

\( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 \)

∴ \( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } } } \)

また,\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) なので

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos \theta = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \ \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } } \)

 

3.2 ベクトルのなす角を求める問題

具体的に,先ほどの「例題2」の2つのベクトルのなす角を求めてみましょう。

例題3

2つのベクトル \( \vec{ a } = (1, \ 2), \ \vec{ b } = (3, \ 1) \) のなす角 \( \theta \) を求めよ。

【解答】

(内積を求める手順は「例題2」で求めたので省略します。)

例題2より \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 5 \)

また \( |\vec{ a }| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)

   \( |\vec{ b }| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \)

よって

 \( \begin{align}
\displaystyle \cos \theta & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \\
\\
& = \frac{ 5 }{ \sqrt{5} \times \sqrt{10} } \\
\\
& = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }
\end{align} \)

\( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \) であるから

\( \color{red}{ \theta = 45^\circ \cdots 【答】 } \)

 

このように,内積を利用することで2つのベクトルのなす角を求めることができます。

 

4. 内積の公式

内積の公式や性質について,もう少し詳しく解説していきます。

4.1 内積と平行条件

内積と平行条件

\( \vec{ a } \neq 0 \),\( \vec{ b } \neq 0 \) で,\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0
\end{align} } \)

【証明】

\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

\( \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \theta = 0^\circ \) または \( \theta = 180^\circ \)

\( \theta = 0^\circ \) のとき
 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 0^\circ = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

\( \theta = 180^\circ \) のとき
 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 180^\circ = – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

したがって

\( \color{red}{ \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| } \)

 

また,\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| \) の両辺を2乗して

\( (\vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 = |\vec{ a }|^2 |\vec{ b }|^2 \)

\( \Longleftrightarrow \ (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = ({a_1}^2 + {a_2}^2) ({b_1}^2 + {b_2}^2) \)

\( \Longleftrightarrow \begin{align}
{a_1}^2 & {b_1}^2 + 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_2}^2 \\
& = {a_1}^2 {b_1}^2 + {a_1}^2 {b_2}^2 + {a_2}^2 {b_1}^2 + {a_2}^2 {b_2}^2
\end{align} \)

\( \Longleftrightarrow \ {a_1}^2 {b_2}^2 – 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_1}^2 = 0 \)

\( \Longleftrightarrow \ (a_1 b_2 – a_2 b_1)^2 = 0 \)

\( \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 \)

よって

\( \color{red}{ \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 } \)

 

4.2 内積と垂直条件

内積と垂直条件

\( \vec{ a } \neq 0 \),\( \vec{ b } \neq 0 \) で,\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
\end{align} } \)

【証明】

\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

\( \vec{ a } \perp \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \theta = 90^\circ \)

\( \theta = 90^\circ \) のとき \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 90^\circ = 0 \)

したがって

\( \color{red}{ \begin{align}
\vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
\end{align} } \)

 

4.3 内積の性質6つ

ここでは内積の演算法則と公式について解説します。

内積の性質

\( k \) は実数とする。

【内積の演算法則】

  \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a } \)

  \( \begin{cases}
\displaystyle ( \vec{ a } + \vec{ b } ) \cdot \vec{ c } = \vec{ a } \cdot \vec{ c } + \vec{ b } \cdot \vec{ c } \\
\vec{ a } \cdot ( \vec{ b } + \vec{ c } ) = \vec{ a } \cdot \vec{ b } + \vec{ a } \cdot \vec{ c }
\end{cases} \)

  \( \displaystyle \left( k \vec{ a } \right) \cdot \vec{ b } = \vec{ a } \cdot ( k \vec{ b } ) = k ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } ) \)

【ベクトルの大きさと内積】

  \( \displaystyle \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right|^2 \)

  \( \displaystyle \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } } \)

  \( \displaystyle – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

「内積の演算法則」は,ベクトルを \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) と成分表示して計算することで,両辺が等しいことが証明できます。

 

「ベクトルの大きさと内積の性質」は,\( \vec{ b } = \vec{ a } \) とすると,なす角は \( \theta = 0^\circ \) となるので

\( \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right|^2 } \)

また,\( \left| \vec{ a } \right| ≧ 0 \) であるから

\( \color{red}{ \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } } } \)

3つ目については,次のように証明ができます。

【証明】(\( \color{red}{ – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \))

[1] \( \vec{ a } = 0 \) または \( \vec{ b } = 0 \) のとき

 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \),\( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | = 0 \) であるから

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | = \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

[2] \( \vec{ a } \neq 0 \) かつ \( \vec{ b } \neq 0 \) のとき

 \( \vec{ a } \),\( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

 \( 0^\circ ≦ \theta ≦ 180^\circ \) であるから

\( -1 ≦ \cos \theta ≦ 1 \)

 各辺に \( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \) を掛けると

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 内積の定義より

\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \)

 であるから

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

[1],[2]から

\( \color{red}{ – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \)

が成り立つ。

内積の性質は,計算の過程や証明問題で使うので,必ずおさえておきましょう。

 

5. 空間のベクトルの内積

ここまで平面上のベクトルについて解説してきましたが,ここからは空間のベクトルの内積について解説していきます。

5.1 空間のベクトルの内積の定義となす角

空間のベクトルの内積も,平面と同様に定義されます。

空間のベクトルの内積

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a }, \ \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とすると

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta } } \)

平面の場合と同様に,余弦定理を用いて成分表示での内積も導くことができます。

空間での内積と成分

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2, \ a_3) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2, \ b_3) \) のなす角を \( \theta \) とする

【内積】

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 } } \)

【なす角】

\( \large{ \color{red}{ \displaystyle \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } } } \)

\( \color{red}{ \displaystyle = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 } \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

【垂直条件】

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0
\end{align} } \)

 

5.2 空間のベクトルの内積となす角の求め方(問題)

例題4

2つのベクトル \( \vec{ a } = (2, \ -3, \ 1) \),\( \vec{ b } = (-3, \ 1, \ 2) \) の内積とそのなす角 \( \theta \) を求めよ。

【解答】

まずは内積を求めます。

 \( \begin{align}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } & = 2 \times (-3) + (-3) \times 1 + 1 \times 2 \\
\\
& = \color{red}{ -7 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

また \( \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{14} \)

   \( | \vec{ b } | = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14} \)

よって

 \( \begin{align}
\displaystyle \cos \theta & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \\
\\
& = \frac{ -7 }{ \sqrt{14} \times \sqrt{14} } \\
\\
\displaystyle & = – \frac{1}{2}
\end{align} \)

\( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \) であるから

\( \color{red}{ \theta = 120^\circ \cdots 【答】 } \)

 

空間でも,なす角の求め方の流れは平面の場合と同様です!

 

5.3 空間のベクトルの内積の性質

内積の性質についても,平面の場合と同様に導くことができます。

空間での内積の性質

\( k \) は実数とする。

【内積の演算法則】

  \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a } \)

  \( \begin{cases}
\displaystyle ( \vec{ a } + \vec{ b } ) \cdot \vec{ c } = \vec{ a } \cdot \vec{ c } + \vec{ b } \cdot \vec{ c } \\
\vec{ a } \cdot ( \vec{ b } + \vec{ c } ) = \vec{ a } \cdot \vec{ b } + \vec{ a } \cdot \vec{ c }
\end{cases} \)

  \( \displaystyle \left( k \vec{ a } \right) \cdot \vec{ b } = \vec{ a } \cdot ( k \vec{ b } ) = k ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } ) \)

【ベクトルの大きさと内積】

  \( \displaystyle \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right|^2 \)

  \( \displaystyle \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } } \)

  \( \displaystyle – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

6. ベクトルの内積まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

ベクトルの内積まとめ

【平面上のベクトルの内積】

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とする

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \\
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2
\end{cases} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

 

【空間内のベクトルの内積】

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2, \ a_3) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2, \ b_3) \) のなす角を \( \theta \) とする

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \\
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\end{cases} } \)

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \cos \theta & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \\
\\
\displaystyle & = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 } \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 } }
\end{align} } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

内積の定義と求め方,ベクトルのなす角の求め方は理解できましたか?

内積はベクトルを学習していくうえで重要な基盤となるので,しっかりマスターしておきましょう!

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3件のコメント

内積の平行条件で、a1b2+a2b1というふうに1と2があべこべに掛けられてるのはどうしてですか?

2つのベクトルが平行ということは、それらのベクトルを二辺としてつくられる平行四辺形の面積が0になることはわかると思います。実は、平面において、2ベクトルがつくる平行四辺形の面積の値のことを外積と呼びます。
((a→)×(b→)= |a→| × |b→| × sinθ )
↑図を書けば分かると思います
外積は、「・」ではなく、「×」で表されます。
この外積の値ですが、ベクトルを縦に2つ並べた行列の行列式の値と等しくなるという決まりがあります。
その行列式の求め方を知れば、この表記にも納得がいくかと思います。(行列は大学数学で学びます)

テスト直前で内積全然わかんなくって困ってたのでとても助かりました!
まとめ方がめっちゃ綺麗で見やすかったです
ありがとうございました

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