微分の公式一覧（証明付き）【数学Ⅱ】

【例】

　・$\left( x \right)’ = 1 \cdot x^{1 \ -1} = 1 \cdot x^0 = 1$

　・$\left( x^2 \right)’ = 2 \cdot x^{2 \ -1} = 2x$

　・$\left( x^3 \right)’ = 3 \cdot x^{3 \ -1} = 3x^2$

　・$\left( x^4 \right)’ = 4x^3$

【例】

　・$\left( 1 \right)’ = 0$

　・$\left( 5 \right)’ = 0$

【例】

　・$\left( 5x \right)’ = 5 \cdot \left( x \right)’ = 5 \cdot 1 = 5$

　・$\left( 3x^2 \right)’ = 3 \cdot \left( x^2 \right)’ = 3 \cdot 2x = 6x$

　・$\left( 7x^3 \right)’ = 7 \cdot 3x^2 = 21x^2$

【例】

$\begin{align} \bullet \ \left( 2x^3 – x \right)’ & = 2 \cdot \left( x^3 \right)’ – \left( x \right)’ \\ & = 2 \cdot 3x^2 – 1 \\ & = 6x^2 – 1 \end{align}$

$\begin{align} \bullet \ \left( 3x^2 – 5x + 2 \right)’ & = 3 \cdot \left( x^2 \right)’ – 5 \cdot \left( x \right)’ + \left( 2 \right)’ \\ & = 3 \cdot 2x -5 \cdot 1 + 0 \\ & = 6x -5 \end{align}$

【例】 $y = (2x+3) (x^2-1)$

$\begin{align} y’ & = (2x+3)’ \cdot (x^2-1) + (2x+3) \cdot (x^2-1)’ \\ & = 2 \cdot (x^2-1) + (2x+3) \cdot 2x \\ & = 6x^2 + 6x – 2 \end{align}$

【例】 $y = (2x-1)^3$

$\begin{align} y’ & = 3(2x-1)^2 \cdot (2x-1)’ \\ & = 3(2x-1)^2 \cdot 2 \\ & = 6(2x-1)^2 \end{align}$

【証明】

二項定理により

$(x+h)^n = x^n + {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + {_n \mathrm{ C }_2} x^{n-2}h^2 + \cdots \cdots + {_n \mathrm{ C }_n} h^n$

よって

$\begin{align} \Delta y & = (x+h)^n – x^n \\ & = {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1}h + \color{blue}{ \left( {_n \mathrm{ C }_2} x^{n-2} + \cdots \cdots + {_n \mathrm{ C }_n} h^{n-2} \right) } h^2 \end{align}$

したがって

$\begin{align} \displaystyle \left( x^n \right)’ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ \displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n – x^n }{h} \\ \\ & = \lim_{h \to 0} \left\{ {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1} + \color{blue}{ \left( \cdots \cdots \right) } h \right\} \\ \\ & = {_n \mathrm{ C }_1} x^{n-1} \\ \\ & = \color{red}{ n x^{n-1} } \end{align}$

【証明】

$f(x) = k$ とおくと，$f(x+h) = k$ であるから

$\Delta y = k \ – k = 0$

したがって

$\begin{align} \displaystyle f’(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\ \\ & = \lim_{h \to 0} 0 = \color{red}{ 0 } \end{align}$

【証明】

$y = k f(x)$（$k$ は定数）のとき，

$\begin{align} \Delta y & = kf(x + \Delta x) – kf(x) \\ \\ & = k \left\{ f(x + \Delta x) – f(x) \right\} \end{align}$

よって

$\begin{align} \displaystyle y’ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ \displaystyle & = \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ k \cdot \frac{ f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} \right\} \\ \\ & = \color{red}{ k f’(x) } \end{align}$

【証明】

$y = f(x) + g(x)$ のとき

$\begin{align} \Delta y & = \left\{ f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) \right\} – \left\{ f(x) + g(x) \right\} \\ \\ & = \left\{ f(x + \Delta x) – f(x) \right\} – \left\{ g(x + \Delta x) – g(x) \right\} \end{align}$

ゆえに

$\begin{align} \displaystyle y’ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ \displaystyle & = \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ \frac{ f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} + \frac{ g(x + \Delta x) – g(x)}{\Delta x} \right\} \\ \\ & = \color{red}{ f’(x) + g’(x) } \cdots ① \end{align}$

 

また，①と定数倍の微分公式より

$\begin{align} \left\{ k f(x) + l g(x) \right\}’ & =\left\{ k f(x) \right\}’ + \left\{ l g(x) \right\}’ \\ \\ & = \color{red}{ k f’(x) + l g’(x) } \cdots ② \end{align}$

 

②で $k = 1, \ l = \ -1$ とすると

$\color{red}{ \left\{ f(x) \ – g(x) \right\}’ = f’(x) \ – g’(x) }$

②で $k = k, \ l = \ -l$ とすると

$\color{red}{ \left\{ k f(x) \ – l g(x) \right\}’ = k f’(x) \ – l g’(x) }$

が導かれる。

【証明】

$F(x) = f(x) g(x)$ とおくと，導関数の定義より

$\begin{align} \displaystyle F’(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \\ \\ \displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) g(x+h) – f(x) g(x)}{h} \\ \\ \displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) g(x+h) \color{blue}{ – f(x) g(x+h) + f(x) g(x+h) } – f(x) g(x)}{h} \\ \\ \displaystyle & = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h) – g(x)}{h} \right\} \\ \\ & = f’(x) g(x) + f(x) g’(x) \end{align}$

【証明】

$\left\{ (ax+b)^n \right\}’ = n(ax+b)^{n-1} (ax+b)’ \cdots ①$ として，数学的帰納法で等式の証明をする。

[1] $n = 1$ のとき

$(左辺) = (ax+b)’ = a$

$(右辺) = 1 \cdot (ax+b)^0 \cdot (ax+b)’ = a$

ゆえに，$n = 1$ のとき，等式①は成り立つ。

[2] $n = k$ のとき，等式①が成り立つ，すなわち

$\begin{align} \color{red}{ \left\{ (ax+b)^k \right\}’ } & = k(ax+b)^{k-1} (ax+b)’ \\ \\ & \color{red}{ = ak(ax+b)^{k-1} } \cdots ② \end{align}$

と仮定する。

$n = k+1$ のときについて

$\begin{align} \left\{ (ax+b)^{k+1} \right\}’ & = \left\{ (ax+b)^k (ax+b) \right\}’ \\ \\ & = \color{red}{ \left\{ (ax+b)^k \right\}’ } (ax+b) + (ax+b)^k (ax+b)’ \\ \\ & = \color{red}{ ak(ax+b)^{k-1} } (ax+b) + (ax+b)^k \cdot a \\ \\ & = ak(ax+b)^k + a (ax+b)^k \\ \\ & = a (ax+b)^k (k+1) \\ \\ & = (k+1) (ax+b)^{(k+1)-1} (ax+b)’ \end{align}$

よって，$n = k+1$ のときにも等式①が成り立つ。

[1]，[2]より，等式①はすべての自然数 $n$ について成り立つ。