ベクトルの内積の全てを超わかりやすくまとめた（意味・公式・成分計算）

【証明】

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = \overrightarrow{ OA } \)，\( \vec{ b } = \overrightarrow{ OB } \) のなす角を \( \theta \) とすると，\( \angle AOB = \theta \) である。

\( \triangle OAB \) に余弦定理を適用すると

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2OA \times OB \times \cos \theta \cdots ① \)

\( AB = |\vec{ b } – \vec{ a }|, \ OA = |\vec{ a }|, \ OB = \vec{ b } \) であるから，①は

\( |\vec{ b } – \vec{ a }|^2 = |\vec{ a }|^2 + |\vec{ b }|^2 – 2 |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta \)

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \)，\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) とすると

\( ( b_1 – a_1 )^2 + ( b_2 – a_2 )^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 – 2 |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta \)

両辺を整理すると

\( |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 \)

したがって，内積の定義 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \) より

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 } } \)

【証明】

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \)，\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とする。

内積の定義

\( \begin{cases}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \\
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2
\end{cases} \)

より，

\( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 \)

∴ \( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } } } \)

また，\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \)，\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) なので

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos \theta = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \ \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } } \)

【証明】

\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

\( \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \theta = 0^\circ \) または \( \theta = 180^\circ \)

\( \theta = 0^\circ \) のとき
　\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 0^\circ = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

\( \theta = 180^\circ \) のとき
　\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 180^\circ = – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

したがって

\( \color{red}{ \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| } \)

 

また，\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| \) の両辺を2乗して

\( (\vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 = |\vec{ a }|^2 |\vec{ b }|^2 \)

\( \Longleftrightarrow \ (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = ({a_1}^2 + {a_2}^2) ({b_1}^2 + {b_2}^2) \)

\( \Longleftrightarrow \begin{align}
{a_1}^2 & {b_1}^2 + 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_2}^2 \\
& = {a_1}^2 {b_1}^2 + {a_1}^2 {b_2}^2 + {a_2}^2 {b_1}^2 + {a_2}^2 {b_2}^2
\end{align} \)

\( \Longleftrightarrow \ {a_1}^2 {b_2}^2 – 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_1}^2 = 0 \)

\( \Longleftrightarrow \ (a_1 b_2 – a_2 b_1)^2 = 0 \)

\( \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 \)

よって

\( \color{red}{ \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 } \)

【証明】

\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

\( \vec{ a } \perp \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \theta = 90^\circ \)

\( \theta = 90^\circ \) のとき　\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 90^\circ = 0 \)

したがって

\( \color{red}{ \begin{align}
\vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
\end{align} } \)

【証明】（\( \color{red}{ – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \)）

[1]　\( \vec{ a } = 0 \) または \( \vec{ b } = 0 \) のとき

　\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \)，\( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | = 0 \) であるから

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | = \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

[2]　\( \vec{ a } \neq 0 \) かつ \( \vec{ b } \neq 0 \) のとき

　\( \vec{ a } \)，\( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

　\( 0^\circ ≦ \theta ≦ 180^\circ \) であるから

\( -1 ≦ \cos \theta ≦ 1 \)

　各辺に \( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \) を掛けると

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

　内積の定義より

\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \)

　であるから

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

[1]，[2]から

\( \color{red}{ – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \)

が成り立つ。