Σシグマの公式まとめと計算方法（数列の和の公式）

1. Σシグマの公式まとめ（数列の和の公式）

まずは，覚えておくべきΣシグマの公式5つをまとめます。

（公式の証明はこのあとの「4. Σシグマの公式の証明（数列の和の公式の証明）」で解説しています。）

 

2. Σシグマの性質（計算方法）

これらの性質が成り立つこのは簡単に確認できます。

以上のΣの性質と和の公式を利用すると，いろいろな数列の和が求められるようになります！
次で実際に問題を解きながら解説していきます。

 

3. Σシグマの計算問題

3.1 Σシグマの計算の基本問題

(1)は，Σの公式と性質を利用して一発です。
(2)は，まず \( (k+3)(k-2) \) を展開して計算をしていきましょう。

【解答】

(1) \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (4k+3) } \)

\( \begin{align}
\displaystyle & = 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 \\
\\
& = 4 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + 3n \\
\\
& = 2n^2 + 2n + 3n \\
\\
& \color{red}{ = 2n^2 + 5n \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) } \)

\( \begin{align}
\displaystyle & = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k – 6) \\
\\
& = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} 6 \\
\\
& = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) – 6n \\
\\
& = \frac{1}{6} n \left\{ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) – 36 \right\} \\
\\
& = \frac{1}{6} n ( 2n^2 + 6n – 32 ) \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{3} n (n^2 + 3n – 16) \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.2 一般項を求めてから和を求める問題

今回は数列の一般項が与えられていません。
Σで和を求めるには一般項がわからないとダメなので，まずは一般項を求めます！

【解答】

与えられた数列の第 \( k \) 項を \( a_k \) とし，求める和を \( S_n \) とする。

(1) 1, 1＋2, 1＋2＋3, …, 1＋2＋3＋…，…

\( a_k = 1+2+ \cdots + k \) となる。

つまり，\( a_k \) は1から \( k \) までの自然数の和であるから

\( \displaystyle \color{red}{ a_k } = \sum_{i=1}^{k} i \color{red}{ = \frac{1}{2} k (k+1) } \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} k (k+1) \\
\\
& = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) \\
\\
& = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right) \\
\\
& = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) \right\} \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) \left\{ (2n+1) + 3 \right\} \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+4) \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{6} n (n+1) (n+2) \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) \( 1, \ 1+2, \ 1+2+2^2, \ \cdots \)

\( a_k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} \) となる。

つまり，\( a_k \) は初項1，公比2，項数 \( k \) の等比数列の和であるから

\( \displaystyle \color{red}{ a_k } = \frac{1 \cdot (2^k – 1)}{2-1} \color{red}{ = 2^k – 1 } \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} (2^k – 1) \\
\\
& = \sum_{k=1}^{n} 2^k – \sum_{k=1}^{n} 1 \\
\\
& = \frac{2(2^n – 1)}{2-1} – n \\
\\
& \color{red}{ = 2^{n+1} – n – 2 \cdots 【答】 }
\end{align} \)