Σシグマの公式まとめと計算方法（数列の和の公式）

東大塾長の山田です。
このページでは、数学B数列の「シグマ記号（Σ）」について解説します。

和の記号であるΣ（シグマ）の公式と性質（計算方法）を，具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！

Σシグマの定義

$\displaystyle \large{ \sum_{k=1}^{n} a_k = \underbrace{ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}_{1からnまで} }$

1. Σシグマの公式まとめ（数列の和の公式）

まずは，覚えておくべきΣシグマの公式5つをまとめます。

Σシグマの公式（数列の和の公式）

$\displaystyle 1. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a = na } }$

$\displaystyle 2. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) } }$

$\displaystyle 3. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) } }$

$\displaystyle 4. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 } }$

$\displaystyle 5. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } }$

（公式の証明はこのあとの「4. Σシグマの公式の証明（数列の和の公式の証明）」で解説しています。）

2. Σシグマの性質（計算方法）

和の記号Σの性質

$p$ ， $q$ は $k$ に無関係な定数とする。

$\displaystyle 1. \ \large{ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k }$

$\displaystyle 2. \ \large{ \sum_{k=1}^{n} p a_k = p \sum_{k=1}^{n} a_k }$

特に　 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (p a_k + q b_k) = p \sum_{k=1}^{n} a_k + q \sum_{k=1}^{n} b_k$

これらの性質が成り立つこのは簡単に確認できます。

【性質①の証明】

2つの数列 $\left\{ a_n \right\}$ ， $\left\{ b_n \right\}$ に対して

$\begin{align} \displaystyle & \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) } \\ \\ & = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + \cdots + (a_n + b_n) \\ \\ & = (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \\ \\ & \color{red}{ = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k } \end{align}$

【性質②の証明】

数列 $\left\{ a_n \right\}$ と定数 $p$ に対して

$\begin{align} \displaystyle & \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} p a_k } \\ \\ & = pa_1 + pa_2 + \cdots + pa_n \\ \\ & = p ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n ) \\ \\ & \color{red}{ = p \sum_{k=1}^{n} a_k } \end{align}$

以上のΣの性質と和の公式を利用すると，いろいろな数列の和が求められるようになります！
次で実際に問題を解きながら解説していきます。

3. Σシグマの計算問題

3.1 Σシグマの計算の基本問題

例題

次の和を求めよ。

　(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k+3)$

　(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2)$

(1)は，Σの公式と性質を利用して一発です。
(2)は，まず $(k+3)(k-2)$ を展開して計算をしていきましょう。

【解答】

(1) $\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (4k+3) }$

$\begin{align} \displaystyle & = 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 \\ \\ & = 4 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + 3n \\ \\ & = 2n^2 + 2n + 3n \\ \\ & \color{red}{ = 2n^2 + 5n \cdots 【答】 } \end{align}$

(2) $\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) }$

$\begin{align} \displaystyle & = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k – 6) \\ \\ & = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} 6 \\ \\ & = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) – 6n \\ \\ & = \frac{1}{6} n \left\{ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) – 36 \right\} \\ \\ & = \frac{1}{6} n ( 2n^2 + 6n – 32 ) \\ \\ & \color{red}{ = \frac{1}{3} n (n^2 + 3n – 16) \cdots 【答】 } \end{align}$

3.2 一般項を求めてから和を求める問題

例題2

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

　(1) 1, 1＋2, 1＋2＋3, …, 1＋2＋3＋…, …

　(2) $1, \ 1+2, \ 1+2+2^2, \ \cdots$

今回は数列の一般項が与えられていません。
Σで和を求めるには一般項がわからないとダメなので，まずは一般項を求めます！

【解答】

与えられた数列の第 $k$ 項を $a_k$ とし，求める和を $S_n$ とする。

(1) 1, 1＋2, 1＋2＋3, …, 1＋2＋3＋…，…

$a_k = 1+2+ \cdots + k$ となる。

つまり， $a_k$ は1から $k$ までの自然数の和であるから

$\displaystyle \color{red}{ a_k } = \sum_{i=1}^{k} i \color{red}{ = \frac{1}{2} k (k+1) }$

よって

$\begin{align} \displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} k (k+1) \\ \\ & = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) \\ \\ & = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right) \\ \\ & = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) \right\} \\ \\ & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) \left\{ (2n+1) + 3 \right\} \\ \\ & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+4) \\ \\ & \color{red}{ = \frac{1}{6} n (n+1) (n+2) \cdots 【答】 } \end{align}$

(2) $1, \ 1+2, \ 1+2+2^2, \ \cdots$

$a_k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1}$ となる。

つまり， $a_k$ は初項1，公比2，項数 $k$ の等比数列の和であるから

$\displaystyle \color{red}{ a_k } = \frac{1 \cdot (2^k – 1)}{2-1} \color{red}{ = 2^k – 1 }$

よって

$\begin{align} \displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} (2^k – 1) \\ \\ & = \sum_{k=1}^{n} 2^k – \sum_{k=1}^{n} 1 \\ \\ & = \frac{2(2^n – 1)}{2-1} – n \\ \\ & \color{red}{ = 2^{n+1} – n – 2 \cdots 【答】 } \end{align}$

3.3 【応用】階差数列と分数の数列（部分分数分解）

もうひとつ，シグマを利用する応用の頻出の問題として，「階差数列」と「分数の数列（部分分数分解）」の問題があります。

これらの詳しい解説は「階差数列の全てをわかりやすくまとめた」の記事でしているので，ぜひチェックしてください。

関連記事階差数列の全てをわかりやすくまとめた（公式・漸化式・一般項の解き方）

4. Σシグマの公式の証明（数列の和の公式の証明）

Σシグマの公式の証明をしていきます。

Σシグマの公式の証明は入試問題で出題されることもあるので、ぜひ理解しておきましょう。

「 $\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a = na }$ 」

数列 $\left\{ a_n \right\}$ において， $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n = a$ のときは

$\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a } = \underbrace{a+a+ \cdots + a }_{n個} \color{red}{ = na }$

「 $\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) }$ 」

これは，等差数列の和の公式通りですので，さらっといきます。

関連記事等差数列の公式まとめ（一般項・和の公式・証明）

初項1，末項 $n$ ，公差1，項数 $n$ の等差数列の和を考えるので

$\begin{align} \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k } & = 1+2+3+ \cdots + n \\ \\ & \color{red}{ = \frac{1}{2} n (n+1) } \end{align}$

「 $\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) }$ 」

恒等式

$(k+1)^3 – k^3 = 3k^2 + 3k + 1 \cdots ①$

を利用して，証明をします。

①で $k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n$ を代入すると

これら式の辺々を加えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)$ を代入して整理すると

$\displaystyle (n+1)^3 – 1^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + n$

ゆえに

$\begin{align} \displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 & = (n+1)^3 – 1 – \frac{3}{2} n (n+1) – n \\ \\ & = n^3 + 3n^2 + 3n – \frac{3}{2}n^2 – \frac{5}{2} n \\ \\ & = n^3 + \frac{3}{2} n^2 + \frac{1}{2}n \\ \\ & = \frac{1}{2} n (2n^2 + 3n + 1) \\ \\ & = \frac{1}{2} n (n+1) (2n+1) \end{align}$

∴ $\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) }$

「 $\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 }$ 」

恒等式

$(k+1)^4 – k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 \cdots ②$

を利用して，証明をします。

②で $k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n$ を代入すると

これら式の辺々を加えると

$\displaystyle ∴ \ (n+1)^4 – 1 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + 4 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + n$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3$ について解くと

$\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 }$

「 $\displaystyle \small{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } }$ 」

これは，等比数列の和の公式そのものですので，さらっといきます。

関連記事等比数列の公式まとめ（一般項・和の公式・証明）

初項 $a$ ，公比 $r$ ，項数 $n$ の等比数列の和を $S_n$ とすると

∴　 $(1-r) S_n = a ( 1 – r^n )$

よって， $r \neq 1$ のとき

$\displaystyle S_n = \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} }$

以上がΣシグマの解説です！

15件のコメント

３－２の項目で１/2n(n+1)が何故３になるのでしょうか？

テニスコートでボールの回収時三角錐状にボールを重ねており、
この計算式を見つけました。有難うございます。７０歳男性より。

返信

nの分数どうして通分をすると3になりますよ

n連続自然数の積の和において、(k=1→n)
Σk(k+1)=1/3×n(n+1)(n+2)
Σk(k+1)…(k-1)=1/(n+1)×n(n+1)…(n-1)n
のように2連続だったら3番目の数をかけて3で割る
n連続だったら(n+1)番目の数をかけて(n+1)で割る
というのを一発公式として習いました
これは常に成り立ちますか？