バウムクーヘン積分について（証明・例題・意味合い）

【例】　\(f(x)=\sin x\)とします。\(y=f(x)\)のグラフの\(0≦x≦\pi\)の部分と\(x\)軸とで囲まれた図形を\(y\)軸の周りに回転させてできる立体の体積\(V\)を求めてみましょう。

【解答】

\(y\)軸対称の回転問題なので、バウムクーヘン積分を用いていきましょう。

\(\begin{aligned}V&=\displaystyle\int_0^{\pi} 2\pi x\sin x dx\\&=2\pi\left[-x\cos x+\sin x \right]_0^{\pi}\\&=2{\pi}^2\end{aligned}\)

【例】下図射線部を\(y\)軸の周りに回転させてできる物体の体積\(V\)を求めましょう。

 

【方針１】バウムクーヘン積分を適用

バームクーヘン積分を用いると

\(\begin{aligned}V&=\displaystyle\int_0^1 2\pi x \cdot x\sqrt{1-x^2} dx\\&=2\pi\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx\end{aligned}\)

\(x=\sin\theta\)と置換すると、\(dx=\cos \theta d\theta\)であり、\(x:0\to 1\)のとき、\(\theta:0\to \frac{\pi}{2}\)だから、

\(\begin{aligned}V&=2\pi\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos\theta d^theta\\&=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta\cos^2 \theta d\theta\\&=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^2\theta) \cos^2\theta d\theta\\&=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos^2\theta-\cos^4\theta\right)d\theta\\&=2\pi\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right)\\&=\frac{{\pi}^2}{8}\end{aligned}\)

途中ウォリスの公式を用いて計算を短縮しました。（公式の解説と導出はこちら）

 

次に、正攻法で積分を行いましょう。

【方針２】正攻法

\(y=x\sqrt{1-x^2}\)より、\(y^2=x^2(1-x^2)\)であり、これを解くと

\(x^2=\displaystyle\frac{1±\sqrt{1-4y^2}}{2}\)

よって求める体積は

\(\begin{eqnarray}&&V=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \pi\left( \frac{1+\sqrt{1-4y^2}}{2}-\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2}\right) dy\\&=&\pi\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-4y^2} dy\end{eqnarray}\)

\(2y=t\)と置くと、\(2dy=dt\)で、\(y:0\to \frac{1}{2}\)のとき、\(t:0\to 1\)だから

\(\begin{aligned}V&=\displaystyle\frac{\pi}{2}\int_0^1 \sqrt{1-t^2} dt\\&=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{4}\\&=\frac{{\pi}^2}{8}\end{aligned}\)

となりました。

【証明】

\(\Delta V\)を\(\Delta x\)で一次近似して、\(x\)の微小区間\([x,\quad \Delta x]\)における\(f(x)\)の最大値・最小値を

最大値：\(M_x\), 最小値：\(m_x\)

とすると、この区間に対応する回転体の微小体積\(\Delta V\)は、

\(\pi\{(x+\Delta x)^2 -x^2\}m_x≦\Delta V≦\pi\{(x+\Delta x)^2 -x^2\}M_x\)

と評価できます。各辺を\(\Delta x\)（\(>0\)）で割ると

\(2\pi\{x+\displaystyle\frac{\Delta x}{2}\}m_x≦\frac{\Delta V}{\Delta x}≦2\pi\{x+\displaystyle\frac{\Delta x}{2}\}M_x\cdots (＊)\)

となり、\(f(x)\)は連続なので、

\(\Delta x\to 0\)のとき、\(m_x\to f(x),\quad M_x\to f(x)\)

であることを考えると、

\(\Delta x\to 0\)のとき、\([(＊)の両辺]\to 2\pi x f(x)\)

となります。よって「はさみうちの原理」より

\(\displaystyle\frac{\Delta V}{\Delta x}\to 2\pi xf(x),\quad ∴\frac{dV}{dx}=2\pi xf(x)\cdots♡\)

\(\Delta x<0\)の時は、上の証明で\(\Delta x\)を\(-\Delta x\)に置き換えればよく、やはり♡を得ます。したがって、回転体の体積は

\(V=\displaystyle\int 2\pi x f(x) dx\)

で与えられます。

\(\Delta V≒\{2\pi x f(x)\}\cdot \Delta x\)

【例】球の体積

\(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 =\int_0^r 4\pi r^2 dr\)

\(\Delta V≒(2\pi x)\{f(x) \Delta x\}\)

【比較】パップス・ギュルダンの定理

\(V=2\pi RS\)