東大塾長の山田です。
このページでは、数学B数列の「階差数列」について解説します。
今回は階差数列の一般項の求め方から，漸化式の解き方まで，具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 階差数列とは？
まずは階差数列とは何か？ということを確認しましょう。
数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の隣り合う2つの項の差
\( b_n = a_{n+1} – a_n \)
を項とする数列 \( \left\{ b_n \right\} \) を，数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 階差数列 といいます。
【例】
\( \left\{ a_n \right\} : 1, \ 2, \ 5, \ 10, \ 17, \ 26, \ \cdots \)
の階差数列 \( \left\{ b_n \right\} \) は
となり，初項1，公差2の等差数列。
2. 階差数列と一般項
次は，階差数列と一般項について解説していきます。
2.1 階差数列と一般項の公式
上記の公式は「\( n ≧ 2 \) のとき」という制約付きなので注意をしましょう。
なぜなら，\( n=1 \) のとき，シグマ記号が「\( k = 1 \) から \( 0 \) までの和」となってしまい，数列の和 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) が定まらないからです。
\( n = 1 \) のときは，求めた一般項に \( n = 1 \) を代入して確認をします。
Σシグマの計算方法や公式を忘れてしまった人は「Σシグマの公式まとめと計算方法（数列の和の公式）」の記事で詳しく解説しているので，チェックしておきましょう。
2.2 階差数列と一般項の公式の導出
階差数列を用いて，なぜもとの数列が「\( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k } \)」と表すことができるのか、導出をしていきましょう。
【証明】
数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると
これらの辺々を加えると，\( n = 2 \) のとき
よって
\( \displaystyle a_n – a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \)
∴ \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k } \)
以上のようにして公式を得ることができます。
3. 階差数列を利用して一般項を求める問題（入試問題）
それでは，階差数列を利用して，数列の一般項を求める問題（入試問題）にチャレンジしてみましょう。
数列 \( \left\{ a_n \right\} \) が，5，11，21，35，53，\( \cdots \) のとき
(1) 一般項 \( a_n \) を求めよ。
(2) 初項から第 \( n \) 項までの和を求めよ。
［1997 福岡大］
【解答】
(1) 一般項 \( a_n \) を求めよ。
\( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると
\( \left\{ a_n \right\} : 5, \ 11, \ 21, \ 35, \ 53, \ \cdots \)
\( \left\{ b_n \right\} : \ \color{red}{ 6, \ 10, \ 14, \ 18, \ \cdots } \)
\( \left\{ b_n \right\} \) は初項6，公差4の等差数列であるから
\( \left\{ b_n \right\} = 6 + 4(n-1) = 4n + 2 \)
\( n ≧ 2 \) のとき
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ a_n } & = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\
\\
& = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+2) \\
\\
& = 5 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \\
\\
& = 5 + 4 \cdot \frac{1}{2} (n-1) n + 2 (n-1) \\
\\
& \color{red}{ = 2n^2 + 3 } \cdots ①
\end{align} \)
\( n = 1 \) のとき
\( 2n^2 + 3 = 2 \cdot 1^2 + 3 = 5 \)
初項は \( a_1 = 5 \) であるから，①は \( n = 1 \) のときも成り立つ。
したがって \( \color{red}{ a_n = 2n^2 + 3 \cdots 【答】 } \)
- 公式は「\( n ≧ 2 \) のとき」という条件をつけるのを忘れずに注意しましょう。
- Σの計算は「1から \( (n-1) \) まで」であるので，ここも注意が必要です。
- さいごに，求めた一般項に「\( n = 1 \) のとき」も代入して，\( a_n \) は \( n≧1 \) で成り立つことを示しましょう。
(2) 初項から第 \( n \) 項までの和を求めよ。
求める和を \( S_n \) とすると
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} a_k \\
\\
& = \sum_{k=1}^{n} (2k^2+3) \\
\\
& = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 3 \\
\\
& = 2 \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + 3n \\
\\
& = \frac{1}{3} n \left\{ (n+1) (2n+1) + 9 \right\} \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{3} n (2n^2 + 3n + 10) \cdots 【答】 }
\end{align} \)
4. 階差数列と漸化式
階差数列の漸化式についても解説をしていきます。
4.1 漸化式と階差数列
\( \displaystyle \large{ \color{red}{ a_{n+1} = a_n + f(n) } } \)
（\( f(n) \) は階差数列の一般項）
上記の漸化式は，階差数列を利用して解くことができます。
「1. 階差数列とは？」で解説したように
\( b_n = a_{n+1} – a_n \)
とおきました。
\( b_n = f(n) \)（\( n \) の式）とすると，数列 \( \left\{ b_n \right\} \) は \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列となるので
\( n ≧ 2 \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k } \)
を利用して一般項を求めることができます。
4.2 階差数列の漸化式の解き方（入試問題）
\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2^n – 2n \ (n = 1, \ 2, \ 3, \cdots ) \) で定義される数列の一般項 \( a_n \) を求めよ。
［2011 法政大］
【解答】
条件より
\( a_{n+1} – a_n = 2^n – 2n \)
よって，数列 \( a_n \) の階差数列の第 \( n \) 項が \( 2^n – 2n \) であるから，\( n ≧ 2 \) のとき
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ a_n } & = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^k – 2k) \\
\\
& = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k – 2 \sum_{k=1}^{n-1} k \\
\\
& = 1 + \frac{2 (2^{n-1} – 1)}{2-1} – 2 \cdot \frac{1}{2} n (n-1) \\
\\
& = 1 + (2^n – 2) – n^2 + n \\
\\
& \color{red}{ = 2^n – n^2 + n – 1 } \cdots ①
\end{align} \)
初項は \( a_1 = 1 \) なので，①は \( n = 1 \) のときにも成り立つ。
したがって \( \color{red}{ a_n = 2^n – n^2 + n – 1 \cdots 【答】 } \)
このように，漸化式の問題も
\( \displaystyle a_{n+1} – a_n = f(n) \)（\( n \) の式）
とすることで，通常の階差数列の問題と同様に解くことができます。
5. 階差数列まとめ
さいごに今回の内容をもう一度整理します。
【階差数列と一般項の公式】
数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると
\( n ≧ 2 \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k } \)
【漸化式と階差数列】
\( \displaystyle \color{red}{ a_{n+1} = a_n + f(n) } \)
（\( f(n) \) は階差数列の一般項）
以上が階差数列の解説です。
階差数列については，公式の導出の考え方が非常に重要です。
公式に頼るだけでなく，公式の導出と同様の考え方で，その都度一般項を求められる力もつけておきましょう。
数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると
\( n ≧ 2 \) のとき \( \displaystyle \large{ \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k } } \)