高校数学でオイラーの公式を理解する！

【準備】

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=e\)を用いて、\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\displaystyle\frac{3}{n}\right)^n\)を求めてみましょう。

実際に計算してみると

\(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\displaystyle\frac{3}{n}\right)^n&=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{\frac{n}{3}}\right)^n\\&=\left(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{\frac{n}{3}}\right)^{\frac{n}{3}}\right)^3\\&=e^3\\\end{aligned}\)

となります。この性質を適用すると、実数定数\(a\)を用いて

\(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}=e^a\)

と書けると予測できますね。

【証明】先ほどの計算例より

\(e^{i\theta}=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^{n}\)

と書くことができます。ここから三角関数の極限

\(\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sinh }{h}=1⇔\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0}\sin h=\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} h\)

を用いて考えていきます。（これは\(h\)と\(\sin h\)がともに収束するからこその式変形です。）

まず、\(n\to\infty\)において、\(\cos \displaystyle\frac{\theta}{n}\)は\(1\)に収束します。（☆）

また、先ほどの極限公式から

\(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\sin \displaystyle\frac{\theta}{n}=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{\theta}{n}\)

が成り立ちます。（♡）

よって（☆）と（♡）を用いてあげると

\(\begin{aligned}e^{i\theta}&=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^{n}\\&=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \displaystyle\frac{\theta}{n}+i\sin\displaystyle\frac{\theta}{n}\right)^{n}\end{aligned}\)

と書き換えることができます。この式にド・モアブルの定理を適用すると

\(\begin{aligned}e^{i\theta}&=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \displaystyle\frac{\theta}{n}+i\sin\displaystyle\frac{\theta}{n}\right)^{n}\\&=\cos \theta +i\sin \theta\end{aligned}\)

というオイラーの公式を導出することができました。

【証明】\(x\)の関数\(f(x)\)を以下のように設定します。

\(f(x)=(\cos x-i \sin x ) \cdot e^{i x}\)

\(f(x)\)の微分は以下のようになります。

\(\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=(\cos x-i \sin x)^{\prime} \cdot e^{i x}+(\cos x-i \sin x) \cdot\left(e^{i x}\right)^{\prime} \\ &=(-\sin x-i \cos x) \cdot e^{i x}+(\cos x-i \sin x) \cdot i e^{i x} \\ &=\{(-\sin x-i \cos x)+(i \cos x+\sin x)\} \cdot e^{i x} \\ &=0 \end{aligned}\)

これにより、\(f(x)\)が定数関数であることが分かります。よって、\(f(x)=f(0)\)より

\(f(x)=(\cos 0 -i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1\)

となり、

\((\cos x-i \sin x) \cdot e^{i x}=1\)

が分かります。ここで両辺に、\(\cos x-i \sin x\)の共役複素数である\(\cos x+i \sin x\)を掛けてあげると上式は

\(e^{i x}=\cos x+i \sin x\)

となり、オイラーの公式を導出することができました。

【証明】実数\(x\)による関数\(y(x)\)を以下のように定めます。

\(y=f(x)=\cos x+i\sin x\cdots①\)

この微分方程式を解いて、\(y=e^{i x}\)であることを証明していきましょう。

ここで①の両辺を微分し、両辺に虚数単位\(i\)を掛けると以下のようになります。

\(i \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\underbrace{-i \sin x}_{\frac{\mathrm{d} \cos x}{\mathrm{d} x}=-\sin x}-\underbrace{\cos x}_{\frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x}=\cos x}\cdots②\)

①②より

\(i\displaystyle\frac{dy}{dx}=-y\)

であり、この微分方程式を解くと一般解

\(y=f(x)=Ce^{ix}\)

が得られます。\(C\)は任意定数です。ここで初期条件\(f(0)=1\)を用いると\(C=1\)が分かり、

\(y=e^{ix}\)

が得られます。以上まとめて

\(e^{i x}=\cos x+i \sin x\)

となり、オイラーの公式を導出することができました。

【証明】

マクローリン展開より

\(\begin{aligned} e^{x} &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots \\ \sin x &=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots \\ \cos x &=1-\frac{x^{2}}{2 !}-\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots \end{aligned}\)

\(e^{ix}\)をマクローリン展開していき、実部と虚部に分解すると

\(\begin{aligned} e^{ix} &=1+\frac{i x}{1 !}+\frac{(i x)^{2}}{2 !}+\frac{(i x)^{3}}{3 !}+\cdots \\ &=1+\frac{i x}{1 !}-\frac{x^{2}}{2 !}-\frac{i x^{3}}{3 !}+\cdots \\ &=\left(1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots\right) \\ &=\cos x+i \sin x \end{aligned}\)

となり、オイラーの公式を導出することができました。