【数学Ⅲ】積分計算の型網羅part5(三角関数）

【解答】

(1)　\(I=\displaystyle\int\frac{1}{1-\sin^2 x} dx\)

\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)を用いましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int\frac{1}{1-\sin^2 x} dx\\&=\int \frac{1}{\cos^2 x} dx \\&=\tan x+C\end{aligned}\)

(2)　\(I=\displaystyle\int (\tan x-1)\cos x dx\)

\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\)を用いましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int (\tan x-1)\cos x dx\\&=\int \left(\frac{\sin x}{\cos x}+1\right)\cos x dx\\&=\int (\sin x+\cos x)dx\\&=-\cos x+\sin x+C\end{aligned}\)

(3)　\(I=\displaystyle\int \tan^2 x dx\)

\(1+\tan^2 x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)を用いましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \tan^2 x dx\\&=\int\left( \frac{1}{\cos^2 x}-1\right)dx\\&=\tan x-x+C\end{aligned}\)

(4)　\(I=\displaystyle\int \frac{1}{\tan^2 x}dx\)

\(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}\)を用いましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \frac{1}{\tan^2 x}dx\\&=\int \left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)dx\\&=-\frac{1}{\tan x}-x+C\end{aligned}\)

【解答】

(1)　\(I=\displaystyle\int\sin 2x \cos 2x  dx\)

和積公式（加法定理）を用いていきましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int\sin 2x \cos 2x  dx\\&=\frac{1}{2}\int \sin 4x dx\\&=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right)+C\\&=-\frac{1}{8}\cos 4x+C\end{aligned}\)

(2)　\(I=\displaystyle\int \sin^3 xdx\)

倍角公式を用いていきましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \sin^3 xdx\\&=\frac{1}{4}\int (3\sin x-\sin 3x) dx\\&=\frac{1}{4}\left(-3\cos x+\frac{1}{3}\cos 3x\right)+C\\&=-\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{12}\cos 3x+C\end{aligned}\)

(3)　\(I=\displaystyle\int x\sin x\cos x dx\)

和積公式（加法定理）を用いていきましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int x\sin x\cos x dx\\&=\frac{1}{2}\int x \sin 2x dx\\&=\frac{1}{2}\int x\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)’ dx\\&=\frac{1}{2}\{x\left(-\frac{1}{2}\cos 2x-\int \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right)dx\}\\&=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x\right)+C\\&=-\frac{1}{4}x\cos 2x+\frac{1}{8}\sin 2x +C\end{aligned}\)

途中では部分積分を用いました。

関連記事【数学Ⅲ】積分計算の型網羅part2(部分積分）

【解答】

(1)　\(I=\displaystyle\int \sin^3 x dx\)

うまく\(\displaystyle\int\{f(x)\}f'(x)dx=\frac{\{f(x)\}^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\)の形を作っていきましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \sin^3 x dx\\&=\int (1-\cos^2 x)\sin x dx\\&=-\int (1-\cos^2 x)(-\sin x)dx\\&=-\int (1-\cos^2 x) (\cos x)’ dx\\&=-\cos x+\frac{1}{3}\cos^3 x+C\end{aligned}\)

(2)　\(I=\displaystyle\int \cos 2x \tan x dx\)

同様の方針で式変形を行っていきましょう。

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \cos 2x \tan x dx\\&=\int (2\cos^2 x-1)\frac{\sin x}{\cos x}dx\\&=\int\left(2\sin x\cos x -\frac{\sin x}{\cos x}\right)dx\\&=\int\{\sin 2x+\frac{(\cos x)’}{\cos x}\}dx\\&=-\frac{1}{2}\cos 2x+\log|\cos x|+C\end{aligned}\)

(3)　\(I=\displaystyle\int \frac{1}{\sin^4 x}dx\)

\(\begin{aligned}I&=\displaystyle\int \frac{1}{\sin^4 x}dx\\&=\int \frac{1}{\sin^2 x\cdot\sin^2 x}dx\\&=-\int\left(1+\frac{1}{\tan^2 x}\right)\left(\frac{1}{\tan x}\right)’ dx\\&=-\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{3\tan^3 x}+C\end{aligned}\)

\(\begin{cases}\displaystyle\int\frac{1}{\sin x}dx=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C\\\displaystyle\int\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+Cdx\end{cases}\)

【導出】

計算の指針は同じなので、上の式のみ証明します。

\(\begin{aligned}\displaystyle\int\frac{1}{\sin x}dx&=\int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\&=\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx\\&=\frac{1}{2}\int \left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right) dx\\&=\frac{1}{2}\int \left(\frac{(1-\cos x)’}{1-\cos x}-\frac{(1+\cos x)’}{1+\cos x}\right) dx\\&=\frac{1}{2}\{\log|1-\cos x|-\log |1+\cos x|\}+C\\&=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C\end{aligned}\)

【導出】

\(I_n =\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx\)とします。

このとき、部分積分を用いて、

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \sin x dx\\&=\left[-\sin^{n-1} x \cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+(n-1)\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx\\&=(n-1)\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1-\sin^2 x) dx\\&=(n-1) (I_{n-2}-I_n) \end{aligned}\)

これをまとめて

\(I_n =\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)

を得ます。よって、\(I_0=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)と\(I_1=1\)を用いて、上の漸化式を何回も適用すると

\(\begin{cases}I_{2n}=\displaystyle\frac{2n-1}{2n}\cdot\displaystyle\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\\I_{2n+1}=\displaystyle\frac{2n}{2n+1}\cdot\displaystyle\frac{2n-2}{2n-1}\cdots\displaystyle\frac{2}{3}\cdot 1\end{cases}\)

が得られます。

【導出】

\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx\)について、\(t=\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\)と置換します。

このとき、\(dt=-dx\)であり、\(x:0\to\displaystyle\frac{\pi}{2}\)のとき\(t:\displaystyle\frac{\pi}{2}\to 0\)となるから

\(\begin{aligned}[左辺]=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx&=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(\sin(\frac{\pi}{2}-t))(-dt)\\&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}  f(\cos t) dt\end{aligned}\)

となり、左辺と右辺が一致します。

【方針】

三角関数の積を和に変えたいので、和積公式を用いていきましょう。

【導出】

\(\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx \cos nx dx=0\)について、和積公式

\( \displaystyle  \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\}  \)

を用いていきます。

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx \cos nx dx&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \{\sin (m+n)x+\sin (m-n)x\} dx\\&=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{m+n}\cos (m+n)x -\frac{1}{m-n}\cos (m-n)x\right]_0^{2\pi}\\&=0\end{aligned}\)

これは\(m±n≠0\)だからこそ行える変形です。（∵\(m,n\)は相異なる自然数）