剰余の定理まとめ（公式・証明・問題）

東大塾長の山田です。
このページでは、「剰余の定理」について解説します。

今回は「剰余の定理」の公式と証明に加え、「剰余の定理と因数定理の違い」についても解説しています。
さいごには剰余の定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで勉強の参考にしてください！

1. 剰余の定理とは？

それではさっそく剰余の定理について解説していきます。

1.1 剰余の定理（公式）

剰余の定理は、余りを求めるときにとても便利な定理です。

具体例は次の通りです。

このように、剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができます。

1.2 剰余の定理の証明

なぜ剰余の定理が成り立つのか、証明をしていきます。

剰余の定理の証明はとてもシンプルです。

よって、\( \color{red}{ P(\alpha) = R } \) となり、証明ができました。

2. 【補足】割る式の1次の係数が1でない場合

割る式の \( x \) の係数が1でない場合の余りは、次のようになります。

具体例は次の通りです。

3. 【補足】剰余の定理と因数定理の違い

「剰余の定理と因数定理の違いがわからない…」と混同されてしまうことがあります。

剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理です。

余りが0ということは、

\( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + 0 \)

ということなので、両辺に \( x= \alpha \) を代入すると

\( P(\alpha) = 0 \)

が得られます。

また、「\( x- \alpha \) で割ると余りが0」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) で割り切れる」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) を因数にもつ」ということです。

したがって、因数定理

が成り立ちます。

3. 剰余の定理を利用する問題

それでは、剰余の定理を利用する問題に挑戦してみましょう。

3.1 例題1

【解答】

\( P(x) \) が\( x+3 \) で割り切れるので、剰余の定理より
　\( P(-3)=0 \)
すなわち　\( 3a-b=0 \ \cdots ① \)

\( P(x) \) が\( x-1 \) で割ると3余るので、剰余の定理より
　\( P(1)=3 \)
すなわち　\( a+b=-25 \ \cdots ② \)

①，②を連立して解くと

\( \displaystyle \color{red}{ a = – \frac{25}{4}, \ b = – \frac{75}{4} \ \cdots 【答】 } \)

3.2 例題2

この2つの方針で考えていきます。

【解答】

\( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \)，すなわち\( (x-4)(x+1) \) で割ったときの商を \( Q(x) \)，余りを \( ax+b \) とすると
　\( \color{red}{ P(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + ax + b } \)

条件から、剰余の定理より
　\( P(4) = 10 \)
すなわち　\( 4a+b=10 \ \cdots ① \)

また、条件から、剰余の定理より
　\( P(-1) = 5 \)
すなわち　\( -a+b=5 \ \cdots ② \)

①，②を連立して解くと

　\( a=1, \ b=6 \)

よって、求める余りは　\( \color{red}{ x+6 \ \cdots 【答】 } \)

今回の例題2ように、剰余の定理の問題の基本は「まず割り算の等式をたてる」ことです。

4. 剰余の定理まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

以上が剰余の定理についての解説です。

この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています！