ベクトルの三角形の面積公式を超わかりやすく説明した

東大塾長の山田です。
このページでは、「ベクトルの三角形の面積公式」について解説します。

ベクトルを使った三角形の面積公式は，教科書によっては発展のページに載っていますが，この公式を知っていると知らないとでは計算の労力とスピードに大きな差が出てしまいます。
ベクトルの三角形の面積公式をマスターできるように，ぜひ勉強の参考にしてください！

1. ベクトルの三角形の面積公式

三角形の面積はベクトルで次のように表すことができます。

ベクトルの三角形の面積公式

$\triangle OAB$ で，$\overrightarrow{ OA } = \vec{ a } = (a_1, \ a_2)$，$\overrightarrow{ OB } = \vec{ b } = (b_1, \ b_2)$ とすると，面積 $S$ は

【ベクトル表示Ver.】

$\displaystyle \large{ \color{red}{ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \vec{ a } \right|^2 |\vec{ b }|^2 – ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 } } }$

【成分表示Ver.】

$\displaystyle \large{ \color{red}{ S = \frac{1}{2} |a_1 b_2 – a_2 b_1| } }$

次は，それぞれの公式の導き方を解説していきます。

2. ベクトルの三角形の面積公式の証明

まずは「ベクトル表示Ver.」の方からいきます。

この公式は，

1. 三角比の面積公式「$\displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} ab \sin \theta }$」
2. 三角比(三角関数)の相互関係「$\color{red}{ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 }$」
3. ベクトルの内積「$\color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta }$」

を使って導きます。

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【証明】「$\displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \vec{ a } \right|^2 |\vec{ b }|^2 – ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 } }$」

$\triangle OAB$ で，$\overrightarrow{ OA } = \vec{ a }$，$\overrightarrow{ OB } = \vec{ b }$ ，$\triangle OAB$ の面積を $S$ とする。

$\angle AOB = \theta$ とすると，面積 $S$ は

$\displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \sin \theta }$

$\sin \theta > 0$ であるから

$\sin \theta = \sqrt{ 1 – \cos ^2 \theta }$

よって

$\displaystyle S = \frac{1}{2} \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \color{red}{ \sqrt{ 1 – \cos ^2 \theta } }$

また

$\displaystyle \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | }$

より

　$\begin{align} \displaystyle S & = \frac{1}{2} \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \sqrt{ 1 – \color{red}{ \left(\frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \right)^2 } } \\ \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \vec{ a } \right|^2 | \vec{ b } |^2 – ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 } \end{align}$

ゆえに　$\displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \vec{ a } \right|^2 |\vec{ b }|^2 – ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 } }$

以上のように式変形をすることで，公式を導くことができます。

このまま「成分表示Ver.」にいきます。

3. ベクトルの三角形の面積の求め方（問題）

それでは、具体的にベクトルで三角形の面積を求める問題で、公式の使い方を確認しましょう。

(1)は公式に当てはめて一発です。

(2)は，どの点も原点でないので、このままでは公式が使えません。
そこで，頂点が原点にくるように平行移動をしてから，公式を利用して解きます。

では，やってみましょう！

【解答】

(1) $A(0, \ 0), \ B(3, \ 1), \ C(2, \ 4)$

　$\begin{align} \displaystyle S & = \frac{1}{2} | 3 \cdot 4 – 1 \cdot 2 | \\ \\ & = \color{red}{ 5 \cdots 【答】 } \end{align}$

(2) $A(1, \ 0), \ B(-1, \ 3), \ C(-2, -1)$

点Aが原点Oにくるように平行移動するとき，$x$ 軸方向に－1だけ平行移動させればよい。

このとき，点B，Cの平行移動後の点はそれぞれ $\color{red}{ B’(-2, \ 3) }$，$\color{red}{ C’ (-3, -1) }$ となる。

したがって，求める面積 $S$ は

　$\begin{align} \displaystyle S & = \frac{1}{2} | (-2) \cdot (-1) – 3 \cdot (-3) | \\ \\ & = \color{red}{ \frac{11}{2} \cdots 【答】 } \end{align}$

4. ベクトルの三角形の面積公式まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

ベクトルの三角形の面積公式まとめ

$\overrightarrow{ OB } = \vec{ b } = (b_1, \ b_2)$ とすると，面積 $S$ は

【ベクトル表示Ver.】

$\displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \vec{ a } \right|^2 |\vec{ b }|^2 – ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 } }$

【成分表示Ver.】

$\displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2} |a_1 b_2 – a_2 b_1| }$

座標が既知の場合の面積は，この公式で簡単に求めることができます。

しかし，例題(2)のように「1点が原点になければ使えない」ので，「平行移動をしてから公式を使う」ということがポイントです。

ベクトルの三角形の面積公式は必ず覚えておきましょう！