東大塾長の山田です。
このページでは、【数学ⅠA】の「三角比sin,cos,tanの変換公式と覚え方」について解説します。
三角比は公式がたくさんあるため、丸暗記はキツイです。だからこそ、自分で公式を導けるようになることが重要です。
そうすれば、\( \sin, \ \cos, \ \tan \) の変換公式も簡単に覚えることができます！
この記事を最後まで読んで、公式の導き方を知り、三角比の基礎を固めましょう！
1. 三角比の変換公式
まずは三角比の変換公式をすべてまとめておきます。
・\( \displaystyle \large{ \sin(90^\circ- \theta) = \cos \theta } \)
・\( \displaystyle \large{ \cos(90^\circ- \theta) = \sin \theta } \)
・\( \displaystyle \large{ \tan(90^\circ- \theta) = \frac{1}{\tan \theta} } \)
・\( \large{ \sin(90^\circ+ \theta) = \cos \theta } \)
・\( \large{ \cos(90^\circ+ \theta) = -\sin \theta } \)
・\( \displaystyle \large{ \tan(90^\circ+ \theta) = -\frac{1}{\tan \theta} } \)
・\( \large{ \sin(180^\circ- \theta) = \sin \theta } \)
・\( \large{ \cos(180^\circ- \theta) = -\cos \theta } \)
・\( \large{ \tan(180^\circ- \theta) = -\tan \theta } \)
次は公式の導き方（覚え方）を解説していきます。
2. \( 90^\circ-\theta \) の変換公式の覚え方
・\( \displaystyle \color{red}{ \large{ \sin(90^\circ- \theta) = \cos \theta } } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \large{ \cos(90^\circ- \theta) = \sin \theta } } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \large{ \tan(90^\circ- \theta) = \frac{1}{\tan \theta} } } \)
\( 90^\circ-\theta \) の変換公式は、直角三角形を描いてみると、導くことができます。
上の左の図で、三角比の定義より、
\( \begin{cases}
\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c} \\
\\
\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c} \ \ \ \cdots ① \\
\\
\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}
\end{cases} \)
一方、上の右の図のように、もとの三角形をひっくり返すと、
\( \begin{cases}
\displaystyle \sin (90^\circ – \theta) = \frac{b}{c} \\
\\
\displaystyle \cos (90^\circ – \theta) = \frac{a}{c} \ \ \ \cdots ② \\
\\
\displaystyle \tan (90^\circ – \theta) = \frac{b}{a}
\end{cases} \)
①、②を比べてみると
\( \color{red}{ \begin{cases}
\sin(90^\circ- \theta) = \cos \theta \\
\\
\cos(90^\circ- \theta) = \sin \theta \\
\\
\displaystyle \tan(90^\circ- \theta) = \frac{1}{\tan \theta}
\end{cases} } \)
が得られます。
3. \( 90^\circ+\theta \) の変換公式の覚え方
・\( \color{red}{ \large{ \sin(90^\circ+ \theta) = \cos \theta } } \)
・\( \color{red}{ \large{ \cos(90^\circ+ \theta) = -\sin \theta } } \)
・\( \color{red}{ \large{ \tan(90^\circ+ \theta) = -\frac{1}{\tan \theta} } } \)
\( 90^\circ+\theta \) の変換公式も、丸暗記はキツイです⋯。
次のように考えましょう。
まず上の図の点Pについて、
\( \begin{cases}
x = \cos \theta & \\
\\
y = \sin \theta & \ \ \cdots ① \\
\\
[OPの傾き]=\tan \theta &
\end{cases} \)
また、点Qについて
\( \begin{cases}
x’ = \cos(90^\circ+\theta) & \\
\\
y’ = \sin (90^\circ+\theta) & \ \ \cdots ② \\
\\
[OQの傾き]=\tan (90^\circ+\theta) &
\end{cases} \)
また、△OPH≡△QOH’で、正負にも注意すると、
\( \begin{cases}
x’=-y & \\
\\
y’=x & \ \ \cdots ③ \\
\\
[OPの傾き] \times [OQの傾き]=-1 &
\end{cases} \)
①，②，③より、
\( \color{red}{ \begin{cases}
\sin(90^\circ+ \theta) = \cos \theta \\
\\
\cos(90^\circ+ \theta) = -\sin \theta \\
\\
\displaystyle \tan(90^\circ+ \theta) = -\frac{1}{\tan \theta}
\end{cases} } \)
を導くことができます。
4. \( 180^\circ-\theta \)の変換公式の覚え方
・\( \color{red}{ \large{ \sin(180^\circ- \theta) = \sin \theta } } \)
・\( \color{red}{ \large{ \cos(180^\circ- \theta) = -\cos \theta } } \)
・\( \color{red}{ \large{ \tan(180^\circ- \theta) = -\tan \theta } } \)
これも丸暗記はせず、次の導き方を知っておくとよいでしょう。
上の図で、
\( \begin{cases}
P(\cos \theta , \ \sin \theta) \\
\\
[OPの傾き] = \tan \theta
\end{cases} \)
一方
\( \begin{cases}
Q\left( \cos(180^\circ-\theta), \ \sin(180^\circ-\theta) \right) \\
\\
[OQの傾き] = \tan(180^\circ-\theta)
\end{cases} \)
\( x \) 座標，\( y \) 座標，傾きを比べると
\( \color{red}{ \begin{cases}
\sin(180^\circ- \theta) = \sin \theta \\
\\
\cos(180^\circ- \theta) = -\cos \theta \\
\\
\tan(180^\circ- \theta) = -\tan \theta
\end{cases} } \)
を導くことができます。
5. 変換公式を使う問題
それでは、具体的に三角比の変換公式を使う問題をやっていきます。
5.1 例題1
次の三角比を45°以下の角の三角比で表せ。
(1) \( \sin55^\circ \)
(2) \( \cos78^\circ \)
(3) \( \tan63^\circ \)
\( 90^\circ-\theta \) の変換公式を使って解いていきます。
【解答】
\( \begin{align}
(1) \ \ \color{red}{ \sin 55^\circ } & = \sin (90^\circ – 35^\circ) \\
& \color{red}{ = \cos 35^\circ \cdots 【答】}
\end{align} \)
\( \begin{align}
(2) \ \ \color{red}{ \cos 78^\circ } & = \cos (90^\circ – 12^\circ) \\
& \color{red}{ = \sin 12^\circ \cdots 【答】}
\end{align} \)
\( \begin{align}
(3) \ \ \color{red}{ \tan 63^\circ } & = \tan (90^\circ – 27^\circ) \\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{1}{\tan 27^\circ } \cdots 【答】}
\end{align} \)
- 「\( \sin \) と \( \cos \) は入れ替わる！」
- 「\( \tan \) は逆数になる！」
5.2 例題2
角 \( \theta \) について、\( 0^\circ ≦\theta≦90^\circ \)，\( \displaystyle \sin \theta = \frac{12}{13} \)とするとき、次の値を求めよ。
(1) \( \sin(90^\circ-\theta) \)
(2) \( \tan(180^\circ-\theta) \)
この問題は、三角比の相互関係との融合問題です。
【解答】
三角比の相互関係 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) より、
\( \begin{align}
\cos^2\theta & = 1 – \sin^2\theta \\
\\
\displaystyle & = 1 – \left( \frac{12}{13} \right)^2 \\
\\
\displaystyle & = \frac{25}{169}
\end{align} \)
\( 0^\circ ≦\theta≦90^\circ \) であるから \( \cos\theta≧0 \)
よって、
\( \displaystyle \color{red}{ \cos\theta } = \sqrt{\frac{25}{169}} \color{red}{ = \frac{5}{13} } \)
ゆえに
\( \displaystyle \color{red}{ \tan\theta } = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \color{red}{ = \frac{12}{13} \div \frac{5}{13} = \frac{12}{5} } \)
よって、
\( \displaystyle \color{red}{ \sin(90^\circ-\theta) } = \cos\theta \color{red}{ = \frac{5}{13} \cdots 【答】 } \)
\( \displaystyle \color{red}{ \tan(180^\circ-\theta) } = -\tan\theta \color{red}{ = -\frac{12}{5} \cdots 【答】 } \)
5.3 例題3
△ABCの3つの内角∠A，∠B，∠Cの大きさを、それぞれA,B,Cとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\( \displaystyle \sin\frac{A}{2} = \cos\frac{B+C}{2} \)
最後は証明問題です。
等式の証明は、一方の辺を変形して、もう一方の辺と一致させて、証明をしていきます。
【解答】
\( A+B+C=180^\circ \) であるから、\( B+C=180^\circ-A \)
よって
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \cos\frac{B+C}{2} } & = \cos\frac{180^\circ-A}{2} \\
\\
\displaystyle & = \cos \left( 90^\circ-\frac{A}{2} \right) \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \sin\frac{A}{2} }
\end{align} \)
したがって、等式は成り立つ。【証明終了】
ここでは \( \cos(90^\circ- \theta) = \sin \theta \) の式変形を使いました。
6. 三角比の変換公式まとめ
以上が三角比の変換公式の解説です。
三角比は覚える公式がたくさんあります。
そのため、丸暗記はキツイですし、ど忘れやミスが必ず起こります。
公式の導き方を知っておけば理解が深まり、自分ですぐに導けることにより、暗記（一瞬で導ける状態）も容易くなります。
公式の導き方をしっかりおさえて、三角比の基礎を固めてください！
子どもが躓いたので参考にさせて頂きました。
例題３ですが、設問の証明式、誤っていませんか…？
sin A/2 =cos・・ (記載できないので割愛)
を、証明するなら理解ができるのですが…。
まだ、私の理解が足りないだけでしょうか。