【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの相互関係と覚え方

東大塾長の山田です。
このページでは、【数学ⅠA】の「三角比sin,cos,tanの相互関係」について解説します。

相互関係の式は、理解をすれば簡単に覚えることができます。
“覚える”というより、自分で一瞬で導けるようになることができます。

この記事を最後まで読んで、三角比の基礎を固めましょう！

1. 三角比の相互関係の公式

三角比の相互関係の公式とは次の3つの式です。

\( \sin \theta, \ \cos \theta, \ \tan \theta \) のうち1つでも値がわかれば、①～③の関係式から残りの2つの値を求めることができます。

三角比 \( \sin \theta, \ \cos \theta, \ \tan \theta \) の値を求める問題では必ず使う関係式なので、絶対に覚えましょう。

2. 三角比の相互関係の導き方（覚え方）

それでは、三角比の相互関係の式の導き方を解説していきます。

まずは、\( \sin, \ \cos, \ \tan \) の定義を確認しましょう。

半径1の円とその円周上の点 \( P(x, y) \) を考えると

・\( x \ 座標= \cos \theta \)

・\( y \ 座標= \sin \theta \)

・\( \displaystyle \frac{y}{x}（OPの傾き）=\tan \theta \)

となる。

※ \( \sin, \ \cos, \ \tan \) の定義については「【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの表と覚え方」の記事で詳しく解説しています。

関連記事【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの表と覚え方

上の図より、

\( \displaystyle \color{red}{ \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} } \cdots ① \)

また、三平方の定理から

\( x^2 + y^2 = 1 \)

したがって

\( \color{red}{ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 } \cdots ② \)

さらに、②の式の両辺を \( \cos^2 \theta \) で割ると

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{\sin^2 \theta }{\cos^2 \theta } + \frac{\cos^2 \theta }{\cos^2 \theta } & = \frac{1}{\cos^2 \theta } \\
\\
\displaystyle \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2 + 1 & = \frac{1}{\cos^2 \theta } \\
\\
\displaystyle \tan^2 \theta + 1 & = \frac{1}{\cos^2 \theta}
\end{align} \)

したがって、

\( \displaystyle \color{red}{ 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} } \cdots ③ \)

以上より、①〜③の式を導くことができました。

この流れは、理解してしまえばとても簡単なので、丸ごと理解して覚えてしまいましょう。
そうすれば、ど忘れなどは一切無くなります！

3. 三角比の相互関係の例題

それでは、相互関係の式を使って具体的に問題を解いていきましょう。

3.1 例題(1)

【解答】

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) より

\( \begin{align}
\cos^2 \theta & = 1 – \sin^2 \theta \\
\\
\displaystyle & = 1 – \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{8}{9}
\end{align} \)

\( \theta \) は鋭角だから、\( \cos \theta > 0 \)

よって　\( \displaystyle \color{red}{ \cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdots 【答】 } \)

また、

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \tan \theta } & = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\
\\
& = \sin \theta \div \cos \theta \\
\\
\displaystyle & = \frac{1}{3} \div \frac{2\sqrt{2}}{3} \\
\\
\displaystyle & = \frac{1}{2\sqrt{2}} \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdots 【答】 }
\end{align} \)

3.2 例題(2)

【解答】

\( \displaystyle 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \) より

\( \displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + \left( 2\sqrt{2} \right)^2 = 9 \)

よって　\( \displaystyle \cos^2 \theta = \frac{1}{9}  \)

\( \theta \)は鋭角だから、\( \cos \theta > 0 \)

よって　\( \displaystyle \color{red}{ \cos \theta = \frac{1}{3} \cdots 【答】} \)

また、\( \displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) より

\( \begin{align}
\color{red}{ \sin \theta } & = \tan \theta \times \cos \theta \\
\\
\displaystyle & = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{3} \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdots 【答】}
\end{align} \)

3.3 応用問題(1)～(3)

応用問題(1)～(3)

\( \displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}（0^\circ < \theta < 180^\circ）\) のとき、次の値を求めよ。

　(1) \( \sin \theta \cos \theta \)
　(2) \( \sin^3 \theta + \cos^3 \theta \)
　(3) \( \sin \theta – \cos \theta \)

【解答】

(1) \( \displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} \) の両辺を2乗して

\( \displaystyle \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \)

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) だから

\( \displaystyle 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} \)

\( \displaystyle 2\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{4} \)

\( \displaystyle \color{red}{ \sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8} \cdots 【答】 } \)

(2) \( \color{red}{ \sin^3 \theta + \cos^3 \theta } \)

　\( \begin{align}
& = (\sin \theta + \cos \theta)^3 – 3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta) \\
\\
\displaystyle & = \left( \frac{1}{2} \right)^3 – 3\left( -\frac{3}{8} \right) \cdot \frac{1}{2} \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{11}{16} \cdots 【答】 }
\end{align} \)

※切れている場合は横スクロールして見てみてください。

\( \sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)^3 – 3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta) \)の変形のやり方は、対称式で学習した考え方です。

対称式の式変形については「【数学Ⅰ】対称式の基本と因数分解など全問題」で詳しく解説しているので、不安な人は確認しておきましょう。

関連記事【数学Ⅰ】対称式の基本と因数分解など全問題

 

(3) \( (\sin \theta – \cos \theta)^2 \)

　\( \begin{align}
& = \sin^2 \theta -2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta \\
\\
\displaystyle & = 1 – 2\left( -\frac{3}{8} \right) \\
\\
\displaystyle & = \frac{7}{4}
\end{align} \)

\( 0^\circ < \theta < 180^\circ \) のとき \( \sin \theta > 0 \) である。

また \( \displaystyle \sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8} < 0 \) から \( \cos \theta < 0 \)

よって、\( \sin \theta \ – \cos \theta > 0 \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \sin \theta – \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2} \cdots 【答】} \)

4. 三角比の相互関係のまとめ

さいごに、三角比の相互関係のまとめをします。

これらの式の導き方を含めて覚えましょう。
そうすれば、簡単に相互関係の式を覚えることができ。深く理解できます。

数ⅠAの「三角比」は、数ⅡBの「三角関数」の基礎にもなるので、しっかりと三角比の基礎を固めておきましょう！