東大塾長の山田です。
このページでは、「高次方程式の解き方」について、例題を解きながらパターンに分けて解説します。
また、高次方程式を解くときに重要な「因数定理」に関しての、「因数の見つけ方」や「割り算の簡便法（組み立て除法）」についても紹介しています。
ぜひ最後まで読んで、勉強の参考にしてください！
1. 高次方程式の解き方1（因数分解の公式利用）
まずは高次方程式の1番基本の「因数分解の公式利用」で解くパターンの問題です。
次の方程式を解け。
(1) \( x^3 = 8 \)
(2) \( x^3 – 9x^2 + 27x – 27 = 0 \)
例題1は、3次式の因数分解の公式で一発です！
3次式の因数分解の公式が曖昧な人は「3乗の因数分解（展開）公式」の記事でぜひ復習してください。
【解答】
(1) \( x^3 = 8 \)
与式から \( x^3 – 8 = 0 \)
左辺を因数分解すると
\( (x-2) (x^2 + 2x + 4) = 0 \)
よって \( x-2=0 \)
または \( x^2+2x+4=0 \)
\( x-2=0 \) より \( \color{red}{ x=2 } \)
\( x^2+2x+4=0 \) より \( \displaystyle \color{red}{ x = -1 \pm \sqrt{3}i } \)
したがって
\( \displaystyle \color{red}{ x=2, \ -1 \pm \sqrt{3}i \ \cdots 【答】 } \)
(2) \( x^3 – 9x^2 + 27x – 27 = 0 \)
与式の左辺を因数分解すると
\( (x-3)^3 = 0 \)
よって \( \color{red}{ x=3 \ \cdots 【答】 } \)
\( \begin{cases}
\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \\
\\
\displaystyle a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\end{cases} \)
\( \begin{cases}
\displaystyle a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 \\
\\
\displaystyle a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = (a-b)^3
\end{cases} \)
2. 高次方程式の解き方2（置き換え＆因数分解）
次は「置き換えてから因数分解する」パターンの問題です。
方程式 \( x^4 – 3x^2 – 10 = 0 \) を解け。
このような「\( ax^4 + bx^2 + c = 0 \)」の形の式を複2次式といいます。
複2次式の因数分解は「\( \color{red}{ x^2 = X } \)」とおいて、因数分解をしていきます。
【解答】
\( x^2=X \) とおくと、与式は
\( X^2 – 3X – 10 = 0 \)
左辺を因数分解すると
\( (X-5) (X+2) = 0 \)
すなわち
\( (x^2 – 5) (x^2 + 2) = 0 \)
よって \( x^2 – 5=0 \)
または \( x^2 + 2=0 \)
\( x^2-5=0 \) より \( \color{red}{ x= \pm \sqrt{5} } \)
\( x^2 + 2=0 \) より \( \color{red}{ x= \pm \sqrt{2} i } \)
したがって
\( \color{red}{ x= \pm \sqrt{5} , \ \pm \sqrt{2} i \ \cdots 【答】 } \)
3. 高次方程式の解き方3（因数定理の利用）
次は因数定理を利用する因数分解です。この問題が受験数学のメインですね！
3.1 因数定理を利用する問題
方程式 \( x^3 – 3x^2 – 8x – 4 = 0 \) を解け。
今回のように、公式利用や置き換えで因数分解ができない場合は、因数定理で因数を求めて、因数分解をしていきます。
【解答】
\( P(x) = x^3 – 3x^2 – 8x – 4 \) とすると
\( \begin{align}
P(-1) & = (-1)^3 – 3 \cdot (-1)^2 – 8 \cdot (-1) – 4 \\
& = 0
\end{align} \)
よって、\( P(x) \) は \( x+1 \) を因数にもつ。
ゆえに
\( P(x) = (x+1) (x^2 – 4x – 4) \)
\( P(x) = 0 \) から \( x+1=0 \) または \( x^2 – 4x – 4=0 \)
\( x+1=0 \) から \( \color{red}{ x=-1 } \)
\( x^2 – 4x – 4=0 \) から \( \color{red}{ x= 2 \pm 2 \sqrt{2} } \)
したがって
\( \color{red}{ x= -1 , \ 2 \pm 2 \sqrt{2} \ \cdots 【答】 } \)
3.2 因数の見つけ方と組立除法
因数定理で因数分解をするときにネックになるのが、「\( P(\alpha) = 0 \) になる \( \alpha \)（因数）を見つけること」だと思います。
「因数の見つけ方」は次の通りですので、必ず覚えておきましょう。
\( P(x) \) について，\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) の候補は
\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数} } } \)
例えば、先ほどの例題3の \( P(x) = x^3 – 3x^2 – 8x – 4 \) では、最高次（\( x^3 \)）の係数は「1」、定数は「－4」なので、\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) は、±1，±2，±4のどれかになります。
闇雲に因数を探すのではなく、「これらの候補の中から探せばよい」と知っていれば、かなり時間短縮になります！
また、［多項式÷多項式］は筆算でも割り算はできますが、面倒くさいし、時間もかかります。これを簡単に時間短縮で行う方法が「組み立て除法」です。
- 割る式 \( x+1 \)（\( =x-(-1) \)） の「－1」と，割られる式 \( x^3 – 3x^2 – 8x – 4 \) の係数1，－3，－8，－4を書く。
- 最初の1をそのまま下に下ろして1と書く。
- 下ろした 1×(－1)＝－1 を －3 の下に書き，－3＋(－1)＝－4 を下に書く。
- さらに －4×(－1)＝4 を －8 の下に書き，－8＋4＝－4 を下に書く。
- －4×(－1)＝4 を－4 の下に書き，－4＋4＝0 を下に書く。
- 結果より、商は \( x^2-4x-4 \)，余り0 となる。
「因数の見つけ方」と「組み立て除法」については、「因数定理まとめ（公式・証明・問題）」の記事で、証明など含めてさらに詳しく解説しているので、ぜひチェックしてみてください。
4. 高次方程式の解き方まとめ
さいごに今回の内容をもう一度整理します。
- 高次方程式の解き方3パターン
- 因数分解の公式利用
- 置き換え＋因数分解（複2次式）
- 因数定理の利用
- 因数の見つけ方\( \displaystyle \cdots \color{red}{ \pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数} } \)
- 組み立て除法\( \cdots \)「(多項式)÷(1次の多項式)」の簡便法。
以上が高次方程式の解き方の解説です。
因数定理を使う場合は、「因数の見つけ方」と「組み立て除法」の知識は必須なので、必ず覚えておきましょう。
それではお疲れさまでした！
N:=(1,2,3…n)｛縦表示？｝の様に
N:をｎ行１列の自然数行列とすると
x^n=-1の解は
x=cos(2N:-1)π/n+isin(2N:-1)π/n
=e^i(2N:-1)π/n
に成りますか？
（高次方程式も単純な物なら解法が有る様な…）
3.2因数の見つけ方と組み立て除法においての例題3での因数の候補に±3があるのですがそれはなぜですか？