正弦定理と余弦定理の公式の証明

東大塾長の山田です。
このページでは、「正弦定理と余弦定理の証明」について解説します。

正弦定理と余弦定理は、高校数学では非常に重要な公式です。
ど忘れや知識の曖昧さをなくすためにも、証明は絶対に知っておくべきです。

また、入試で公式の証明をする問題が出題されることもあるので、この記事を通して導き方を理解しておきましょう！

1. 正弦定理の公式

正弦定理

三角形ABCの外接円の半径をRとしたとき、

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R } } \)

2. 正弦定理の証明

\( \displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R \) について証明します。

\( \angle B , \ \angle C \) についても同様のやり方で証明できます。

次の3つの場合

・(i) ∠Aが鋭角のとき
・(ii) ∠Aが直角のとき
・(iii) ∠Aが鈍角のとき

これら3つの場合をすべて証明すれば、「∠Aがどんなときでも正弦定理は成り立つ」ことになります。
※ このように、証明は「常に」、「どんな場合でも」成り立つことを示す必要があります。

それでは(i)から順にやっていきます。

(i) ∠Aが鋭角のとき

右側の図で　\( \displaystyle \sin A’ = \frac{a}{2R} \)

また、円周角の定理より \( \angle A = \angle A’ \) なので、

\( \displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R \)

(ii) ∠Aが直角のとき

\( \angle A = 90^\circ \) のとき、上の図より

\( \displaystyle a = 2R \)

\( \displaystyle ∴ \ \frac{a}{2R} = 1 \)

となります。

また　\( \sin 90^\circ = 1 \) なので

\( \displaystyle \frac{a}{2R} = \sin90^\circ \)

\( \displaystyle ∴ \ \frac{a}{\sin90^\circ} = 2R \)

つまり「\( \displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R \)」は \( \angle 90^\circ \) のときでも成り立つ、ということです。

(iii) ∠Aが鈍角のとき

四角形ABA’Cは円に内接しているので、内接四角形の性質より、

\( \begin{align}
\displaystyle \angle A + \angle A’ & = 180^\circ \\
\\
∴ \ \angle A’ & = 180^\circ – \angle A
\end{align} \)

よって、\( \sin A’ = \sin (180^\circ-A) \)

\( 180^\circ-\theta \)の変換公式より、

\( \displaystyle \sin (180^\circ-A) = \sin A \)

したがって　\( \sin A’ = \sin A \ \cdots ① \)

また、△A’BCに着目すると

\( \begin{align}
\displaystyle \sin A’ & = \frac{a}{2R} \\
\\
∴ \ \frac{a}{\sin A’} & = 2R \ \cdots ②
\end{align} \)

①，②より

\( \displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R \)

以上、(i)～(iii)より

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ \frac{a}{\sin A} = 2R } } \)

が示せました。

\( \angle B , \ \angle C \) についても同様に証明することで、正弦定理

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R } } \)

が示せます。

3. 余弦定理

余弦定理

\( \displaystyle ・ \ \color{red}{ \large{ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A } } \)

\( \displaystyle ・ \ \color{red}{ \large{ b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos B } } \)

\( \displaystyle ・ \ \color{red}{ \large{ c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos C } } \)

4. 余弦定理の証明

正弦定理と同様に

・(i) ∠Aが鋭角のとき
・(ii) ∠Aが直角のとき
・(iii) ∠Aが鈍角のとき

の3つの場合に分けて証明します。

(i) ∠Aが鋭角のとき

△ABHに着目すると

\( \displaystyle AH = c \cdot \cos A, \ \ BH = c \cdot \sin A \)

次に、△BCHで三平方の定理を適用すると、

\( \begin{align}
\displaystyle BC^2 & = BH^2 + CH^2 \\
\\
∴ a^2 & = (c \cdot \sin A)^2 + (b- c \cdot \cos A)^2 \\
\\
& = c^2\sin^2 A + b^2 – 2bc \cdot \cos A + c^2 \cos^2 A \\
\\
& = c^2 (\sin^2 A + \cos^2 A) + b^2 – 2bc \cdot \cos A \\
\\
& = c^2 \cdot 1 + b^2 – 2bc \cdot \cos A
\end{align} \)

\( \displaystyle ∴ \ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \)

(ii) ∠Aが直角のとき

\( \angle A = 90^\circ \) のとき、「余弦定理は三平方の定理そのもの」といえます。

上の図で、三平方の定理より、

\( a^2 = b^2 + c^2 \)

であり、\( \cos A = \cos 90^\circ = 0 \) なので、

\( \displaystyle a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \)

が成り立っています（\( \cos A=0 \) だから）。

(iii) ∠Aが鈍角のとき

上の図で、

\( \displaystyle BH = c \cdot \sin (180^\circ-A) = c \sin A \)

\( \displaystyle AH = c \cdot \cos (180^\circ-A) = -c \cos A \)

次に、△BCHで三平方の定理を適用すると、

\( \begin{align}
\displaystyle BC^2 & = BH^2 + CH^2 \\
\\
& = BH^2 + (AC + AH)^2 \\
\\
∴ a^2 & = (c \sin A)^2 + (b-c \cos A)^2 \\
\\
& = c^2\sin^2 A + b^2 – 2bc \cdot \cos A + c^2 \cos^2A \\
\\
& = c^2 (\sin^2 A + \cos^2 A) + b^2 – 2bc \cdot \cos A \\
\\
& = c^2 \cdot 1 + b^2 – 2bc \cdot \cos A
\end{align} \)

\( \displaystyle ∴ \ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \)

以上、(i)～(iii)より

\( \displaystyle \color{red}{ \large{ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A } } \)

が示せました。

他の2つの式ついても、同様に証明することができます。